Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим прежде всего, что при P = ЗМ
Q = 3M9 D = 3/3M, k2= 1, sin2(Хоо/2)=; 1/3, F(Хоо/2, l) = Valn(/3 + 1)/(/3 - 1). (262)
140
Глава 3. Il' ростр ансїпво-время Шварцшильда
Далее из уравнений (249), (251) и (259) находим, что если P = = M (3 + б), то
Q = M (3 + V3O), Кг - 1 — k2 = 4/96, (263)
D = Dc + 6D, 6D = (/3/2) Мб2.
Используя также известное асимптотическое соотношение
К (Щ -> In Mk' = In 6 — V2 In 6 0), (264)
получаем
фоо = V2 In
или
б4 Уз (Уз — і)2
2(1^3+02
V2In^, (265)
M (^-I)2 е-*-я
м 2 (^3 +1)2 V ;
Полагая
Фоо = (я + в)/2, (267)
приходим к искомому соотношению
-?- --= 648 / 3 ^1"" 1j' е-ле~в = 3,4823^-0. (268) м v (уз + \)2 v ;
Здесь следует отметить, что^в^число геодезических, которые отклоняются на угол в, определяемый уравнением (268), входят и геодезические, которые отклонились на угол в + 2пп (п = = 1,2, ...), — прицельные параметры этих геодезических равны
Dn = D0+ 3,4823М<Г <0+2™>. (269)
Подобные же (но более простые) рассуждения показывают, что в случае P > ЗМ
в -> 4M/D, D ^P (I + МІР). (270)
Первое из этих соотношений знаменито тем, что на его основе было получено первое (и впечатляющее) подтверждение общей теории относительности.
г. Геодезические второго рода. Решения для изотропных геодезических, характеризуемые значениями и3 <: и < сю, получаются, если воспользоваться подстановкой
и = UP + [(Q + P — 6М)/4МЯ] sec2 (х/2) (271)
вместо подстановки (255). При этом в апоцентре и = и3, % = 0, причем
a = U3 = (Q + P — 2M)IiMP1 (272)
20. Изотропные геодезические
141
w->•oo и г->-0, когда % = п. Подстановка (271) приводит уравнение (214) к виду (258) с тем же самым значением ft2, и поэтому можно записать (ср. с уравнением (260))
Ф - 2 (PZQ)^F (х/2, ft), (273)
причем теперь начало отсчета ф — в апоцентре.
д. Орбиты с мнимыми эксцентриситетами и прицельными параметрами меньше 3 і/ЗМ. Наконец, рассмотрим орбиты в случае, когда уравнение f (и) = О имеет помимо отрицательного действительного корня пару комплексно сопряженных корней. Запишем, как и прежде в подобном случае, корни через мнимые эксцентриситеты іе (ср. с уравнением (171)). Вычисляя
/ (и) = 2М (и — 1/2М + 2/1) [(и — Ul)2 + е2112\ (274)
и сравнивая с уравнением (214), получаем следующие соотношения:
I — M (3 — е2) = О, 1/2MD2 = (2/1 — 1/2M) (1 + е2)//2, (275) которые удобно переписать через параметр ц = М/1:
e2 = (3\i — 1)/ц, D2IM2 = 1/fx (4ц — I)2. (276)
Из этих соотношений следуют неравенства
Ii > 1/3, D<3/3M. . (277)
Таким образом, прицельные параметры этих орбит меньше прицельных параметров орбит первого рода, рассмотренных выше, в п. в настоящего параграфа.
Анализ, проведенный в п. 19, б, III, приложим и теперь, с той лишь разницей, что е2 и ц уже нельзя считать независимыми параметрами: они связаны соотношением е2 = 3 — ц'1. Поскольку эти орбиты неограниченны, решение дается тем же уравнением (209), что и в п. 19, в, IL В частности,
Фоо = 6~l/2 {К(ft) - F(I)001 ft)}, (278)
где г|)оо (после подстановки вместо е2 его значения 3 — цг1) равно
sin2 г|>оо = (б + 1)/(6 + 6ц — 1). (279)
Следует помнить, ЧТО Ц > 1/3 и
б = (48ц2 — 16ц + I)1/2. (280)
Примеры орбит, вычисленных на основе уравнений (230), (238), (260), (273) и (278), показаны на рис. 9, в, г.
На этом мы заканчиваем исследование геодезических в пространстве-времени Шварцшильда.
142 Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
п* = (п(, пг, п\ п*) = ' (г2, _д, 0, 0),
(281)
__Ir* _Л П ПГ
2г2
причем вектор, в котором знак перед ArIAx в (224) отрицателен, мы умножим на Д/2г2. Выбранные таким образом векторы 1 и п удовлетворяют условию
In=I. (282)
Умножение на Д/2г2 привело к тому, что параметр вдоль вектора п в отличие от вектора 1 не является аффинным. Построение тетрады завершим добавлением к векторам 1 и п комплексного изотропного вектора
пі = {пі, mr, m0, тф) ^ _L_(0, 0, 1, /cosecO), (283)
который ортогонален векторам 1 и п и, кроме того, удовлетворяет нормировочному условию
mm- — 1. (284)
Контравариантные векторы п\ пі и т1 составляют требуемый базис. Соответствующие ковариантные векторы равны
h= (1, °> °)'
-^+'¦H (285)
-1=(0, 0, —Л -/г2sin9).
Спиновые коэффициенты, введенные в гл. 1 (уравнения (286)), удобнее всего вычислить, используя ^-символы (гл. 1, уравнение (266)). Мы уже использовали эти ^-символы (правда, в другом базисе), вычисляя коэффициенты вращения Риччи в § 14. В рассматриваемом сейчас базисе ненулевые ^-символы равны
К22 = -Mlr\ Ks = -(г - Ш)12г\
^341 = —Vr9 ^334 = ctg в/г /2, (286)
21. Описание пространства-времени Шварцшильда в формализме Ньюмена—Пенроуза
Последний параграф этой главы мы посвятим описанию пространства-времени Шварцшильда в формализме Ньюмена—Пенроуза. Построение необходимой для такого описания изотропной тетрады начнем с изотропных векторов (224), представляющих радиальные изотропные геодезические. В качестве действительных изотропных векторов 1 и п выберем
