Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
- тремя способами, если первой цифрой была выбрана 1;
- двумя способами, если первой цифрой была выбрана 2;
- одним способом, если 3;
- нулем способов, если 4. Приходится применять комбинаторное
правило сложения: разбить все комбинации на непересекающиеся классы, подсчитать количество комбинаций в каждом классе (например, по правилу умножения), а затем сложить эти количества.
Правило кажется настолько простым и очевидным, что его даже неудобно называть правилом. Однако использование этой простой идеи «разделяй (на классы) и властвуй» оказывается чрезвычайно полезным при решении задач.
Пример 10. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников с разными именами на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?
Решение. Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить на одно из них Колю можно 6 различными способами, после чего посадить рядом с ним Олю можно одним или двумя различными способами. Это зависит от того, куда именно мы посадили Колю - на крайнее место или нет. Самое время применить правило сложения. Разобьем все искомые комбинации на два класса:
- первый класс: Коля сидит на краю, Оля рядом с ним;
- второй класс: Коля сидит где-то в середине, Оля рядом с ним.
Консультация
13
Заметим, что эти классы действительно не пересекаются и исчерпывают все комбинации - ведь, в конце концов, Коля сидит либо на краю, либо где-то в середине. Посчитаем число комбинаций в первом классе: место с краю для Коли можно выбрать двумя способами, после чего Олю можно посадить рядом с ним только одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4 • 3 • 2 • 1 способами. Значит, в этом классе будет 2 • 1 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48 комбинаций.
Посчитаем число комбинаций во втором классе: место в середине скамейки для Коли можно выбрать 4 способами, после чего Олю можно посадить рядом с ним 2 способами, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4 • 3 • 2 • 1 способами. Значит, в этом классе будет 4-2-4-3-21 = = 192 комбинации. Итого по правилу сложения 48 + 192 = 240 способов.
Существует и четвертое комбинаторное правило - правило вычитания. Так же, как и правило сложения, это скорее практический совет для решения некоторых комбинаторных задач: при подсчете комбинаций, обладающих заданным свойством, иногда проще найти количество комбинаций, которые этим свойством не обладают, и вычесть его из общего количества комбинаций.
Пример 11. Найдем количество трехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы один 0.
Решение. Воспользуемся правилом вычитания: найдем количество всех трехзначных чисел, а потом вычтем из него количество чисел, которые не содержат нулей. Количество всех трехзначных чисел можно найти по правилу умножения - 9 10 10 = 900, а можно и без всяких комбинаторных правил: 999 - 99 = 900. Теперь найдем по правилу умножения, сколько из них не содержат ни одного
0: на первое место можно поставить любую из 9 цифр, на второе - любую из 9 цифр и на третье - любую из 9 цифр (каждый раз исключаем 0). Всего по правилу умножения будет 9 • 9 • 9 = 729 вариантов. А теперь найдем ответ по правилу вычитания: 900-729= 171 -столько трехзначных чисел содержат хотя бы один 0.
Тренировочные задания
Задания базового уровня
1. Если выписать в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только 0, 2, 4, 6, то какое число будет следующим за 426?
2. Если выписать по возрастанию все двоичные коды длины 8, то какой код будет следовать за кодом 10101011?
3. Если выписать по возрастанию все двоичные коды длины 8, то какой код будет предшествовать коду 10001000?
4. Из класса, в котором учится 13 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать девочку и мальчика для ведения школьного вечера. Сколькими способами это можно сделать?
5. В чемпионате города по футболу играет десять команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?
6. В меню школьной столовой 2 разных супа, 4 вторых блюда и 3 вида сока. Сколько можно составить вариантов обеда из трех блюд?
7. На деловую встречу пришло 5 человек. Каждый с каждым обменялся рукопожатием. Сколько всего рукопожатий было совершено?
8. В конференции участвовало 30 человек. Каждый с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?
14
Математика в школе 5/2011
9. В расписании уроков на вторник для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
10. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя только цифры 0, 2, 4, 6?
11. Монету подбрасывают 10 раз подряд и каждый раз записывают, что выпало - орел или решка. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться?
Задания повышенного уровня
12. В автомобиле пять мест. Сколькими способами пять человек могут занять в ней места для путешествия, если водить машину могут только трое из них?
13. В расписании уроков на среду для 4 класса должно быть четыре урока: два урока математики, чтение и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
