Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бунимович Е. -> "Математика в школе" -> 10

Математика в школе - Бунимович Е.

Бунимович Е. Математика в школе — М.: Школьная пресса, 2011. — 84 c.
Скачать (прямая ссылка): mathvshkole2011.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 37 >> Следующая

Рис. 31
24
Математика в школе 5 / 2011
8. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника ABC.
...........С




А В
Рис. 32
9. Изобразите треугольник А'В'С", симметричный треугольнику ABC относительно прямой с.
10. Изобразите четырехугольник A'B'C'Z)', симметричный четырехугольнику ABCD относительно точки О.
Литература
1. Смирнова И.М., Смирнов В А. Геометрия на клетчатой бумаге. - М. : МЦНМО, 2009.


в

\ Z
А
Рис. 33


с..........
В

..........А
Рис. 34
С
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ МРГГЕРИАЛОВ
Редакция напоминает авторам, предлагающим задачи в «Отдел задач»:
1. Задачи должны присылаться вместе с решениями. Задачи, присылаемые без решений, редакция не рассматривает. Каждая задача должна быть помещена на отдельном листе.
2. Если задача заимствована, то должен быть указан источник.
Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, правила, выполнение которых является обязательным:
1. Решения можно присылать в редакцию как обычной, так и электронной почтой по адресу: matematika@schoolpress.ru не позднее срока, указанного в предисловии к условиям задач. Решения к задачам одного номера высылаются в одном конверте (файле).
Решения, поступившие позже, не рассматриваются.
2. Решения задач присылаются отдельно от другой корреспонденции.
3. Решение каждой задачи выполняется на отдельном листе, в конце листа указываются (разборчиво) фамилия, имя и отчество автора. Решения участников кружка подписываются руководителем, а на конверте указывается название кружка.
4. Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из решенных задач должен быть крупно выделен.
5. К решениям прилагаются на отдельном листе номера решенных задач и точный адрес автора решений.
Методический семинар
25
ТРИ ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
К.С. Комарова,
МОУ СОШ № 25 (Комсомольск-на-Амуре) e-mail: vnl_1955@mail.ru
В заметке приводится способ решения планиметрических задач, встречающихся в вариантах ЕГЭ, с применением свойства биссектрисы угла треугольника, зачастую более рациональный, чем предлагают в своих публикациях разные авторы.
Ключевые слова: свойство биссектрисы треугольника, задачи ЕГЭ, рациональное решение, пропорциональные отрезки.
«Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника». В учебнике «Геометрия 7-9» авторов Л.С. Атанасяна и др. это свойство сформулировано в виде задачи на доказательство. Считаю полезным запомнить его как теорему. На протяжении нескольких лет среди заданий ЕГЭ не раз предлагались планиметрические задачи, которые в случае применения этого свойства решались бы проще. Приведем несколько примеров таких задач.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены высоты ВТ и AF. Они пересекаются в точке К Известно, что AB = 15, АК- 5. Найдите площадь треугольника АВК (рис. 1).
В

/ к
1 1
Рис. 1
Решение. Так как высота ВТ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла В, то отрезок ВК - биссектриса угла В треугольника ABF. По свойству биссектрисы треугольника
АК АВ KF 5 1
— = —, откуда —д.
Пусть KF = х, тогда BF = Зх, AF = = 5 + х. Рассмотрим треугольник ABF. По теореме Пифагора АВ2 = BF2 + AF2, где AF = АК + KF. Имеем: 225 = (Зх)2 + + (5 + х)2, х2 + х-20 = 0, х = 4. Следовательно, BF = Зх = 3 • 4 = 12.
Наконец,
sabk =^AKBF = |-512 = 30.
Ответ: S^= 30. Задача 2. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а боковая сторона равна 10л/з. К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты CP и АН соответственно, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника СКН (рис. 2).
Решение. Sabq =— АС ВС sinZC, откуда ^
sinZC= 2f^c , sinZC = ^2T = -. AC ВС (Юл/3)2 5
Рассмотрим треугольник АСН. В нем
4 Математика в школе № 5
26
Математика в школе 5 / 2011
AH = ACsinZC, АН = 10л/3- = 6л/з. По
5
теореме Пифагора СН2 = АС2 - АН2, откуда СН = 8л/з.
Так как высота СР, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла С, то отрезок CK - биссектриса угла С треугольника ACH. По свойству биссектрисы треугольника
АК АС 1(К/3 = 5 "4"
ЯЯ СЯ Пусть АЙГ = Ъх 2л/з
и
9jc = 6л/з,
8л/з #Я = 4х. 2л/з
КН = 4-
Тогда 8V3
Таким образом,
^скн ~ — СН • КН = — 8л/з ——— = 32. 2 2 3
Ответ: 8СКН = 32. Задача 3. Дан ромб АВСБ с острым
углом Д. Площадь ромба равна 12л/2,
а синус угла В равен
2V2
Высота СЯ
пересекает диагональ ДО в точке К. Найдите длину отрезка СК (рис. 3).
Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то ДО -биссектриса угла Д, а значит, ВК - биссектриса угла В треугольника ЯВС. Далее находим сторону и высоту ромба:
ВС = Зл/2, СЯ = 4 и применяем свойство биссектрисы утла треугольника. Так как
Ж=Н1 = созАВ = 1 и НК + КС = 4,
КС ВС 3
то СК=3.
Ответ: СК= 3. Замечу, что учащиеся часто находят площадь треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как показано в решении задач 1 и 2, основание и проведенную к нему высоту.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed