Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
14. В расписании уроков на среду для 4 класса должно быть четыре урока: два урока математики, которые должны стоять рядом, чтение и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
15. В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если русский язык и литература должны стоять рядом, а физкультура - быть последним уроком?
16. После хоккейного матча каждый игрок одной команды пожал руку каждому игроку другой. Сколько всего игроков присутствовало на площадке, если было совершено 323 рукопожатия?
17. Из нечетных цифр составляют все
возможные числа, содержащие не более четырех цифр. Сколько существует таких чисел?
18. Сколько сигналов можно поднять на мачте, если имеется 4 разных флага, и каждый сигнал должен состоять, по крайней мере, из двух флагов? (Сигналы, составленные из флагов, взятых в разном порядке, считаются различными.)
19. Номера паспортов состоят из 6 цифр. Сколько таких номеров являются палиндромами, то есть читаются в обе стороны одинаково (например: 089980)?
20. Номера паспортов состоят из 6 цифр. Сколько из них содержат хотя бы две одинаковые цифры?
21. Номера паспортов состоят из 6 цифр. Сколько из них содержат, по крайней мере, два нуля?
22. Из двенадцати фильмов, номинированных на лучшую режиссерскую работу, жюри кинофестиваля должно отобрать трех финалистов. Сколькими способами это можно сделать?
Ответы и решения
1. Ответ: 440.
2. Ответ: 10101100.
3. Ответ: 10000111.
4. Ответ: 130.
Решение. Применим правило умножения: девочку можно выбрать 13 способами, мальчика - 10 способами, пару мальчик-девочка - 13 • 10 = 130 способами.
5. Ответ: 720.
Решение. На первое место можно поставить любую из 10 команд, на второе -любую из 9 оставшихся, на третье -любую из 8 оставшихся. По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 10 • 9 • 8 = 720.
6. Ответ: 24.
Консультация
15
Решение. Суп можно выбрать двумя способами, второе блюдо - четырьмя, третья - тремя. Всего вариантов обеда по правилу умножения будет 2 • 4 • 3 = 24.
7. Ответ: 10.
Решение. Каждое рукопожатие - это неупорядоченная (!) пара, которую можно составить из 5 человек. На первое место в паре можно поставить любого из 5 человек, на второе - любого из 4 оставшихся. Упорядоченных пар по правилу умножения будет 5 • 4 = 20. Поскольку в рукопожатиях порядок людей учитывать не надо, то полученный результат нужно 5-4
поделить на 2: —— = 10.
8. Ответ: 870.
Решение. Каждый из 30 участников конференции раздал 29 карточек. Значит, всего было роздано 30 • 29 = 870 карточек.
9. Ответ: 120.
Решение. Первым уроком можно поставить любой из пяти предметов, вторым уроком - любой из четырех оставшихся и т.д. По правилу умножения получаем 5 - 4 • 3 - 2 • 1 = 120 способов.
10. Ответ: 48.
Решение. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать тремя способами (0 выбирать нельзя), вторую - четырьмя способами и третью - также четырьмя. Всего способов по правилу умножения будет 3 • 4 • 4 = 48.
11. Ответ: 1024.
Решение. Каждую такую последовательность можно рассматривать как десятибуквенное слово, составленное из букв О и Р. Всего таких слов по правилу умножения будет 2 • 2 • ... • 2 = = 210 = 1024.
12. Ответ: 72.
Решение. Воспользуемся правилом умножения: за руль можно посадить лю-
бого из трех, которые умеют водить машину, на следующее место - любого из 4 оставшихся, на следующее - любого из 3 оставшихся и т.д. Всего получаем 3 . 4 . з . 2 . 1 = 72 способа.
13. Ответ: 12.
Решение. Чтение можно поставить на любой из 4 уроков, физкультуру - на любой из 3 оставшихся. После этого для двух уроков математики остается единственный способ поставить их в расписание. По правилу умножения общее число способов 4 • 3 • 1 = 12.
14. Ответ: 6.
Решение. Выбрать место для двух спаренных уроков математики можно 3 способами, после этого чтение можно поставить на любой из 2 оставшихся уроков, физкультуру - на единственный оставшийся. По правилу умножения общее число способов равно 3-21 = 6.
15. Ответ: 12.
Решение. Физкультуру сразу поставим на последнее место и уже не будем учитывать - останется расставить четыре предмета на четыре урока. Два соседних места для русского языка и литературы можно выбрать 3 способами. Поставить их на эти выбранные места можно двумя способами. После этого алгебру можно поставить на любое из двух оставшихся мест, а географию - на единственное оставшееся. По правилу умножения получаем: 3 ¦ 2 ¦ 2 ¦ 1 = 12.
16. Ответ: 36.
Решение. Пусть в первой команде было т игроков, а во второй - п игроков. Тогда всего было совершено по правилу умножения т • п рукопожатий. Получаем уравнение с двумя неизвестными, которое нужно решить в целых числах: т • п = 323. Поскольку т и п не могут равняться 1 (в хоккейной команде не может быть один игрок), то уравнение
16
Математика в школе 5/2011
имеет всего два решения (других способов разложить 323 на два множителя нет): т = 17, п = 19 или т = 19, п = 17. В любом случае их сумма равна 36.
