Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
Правило умножения (для комбинаций из двух элементов). Если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент - Ь способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет равно а • Ь.
Пример 1. Сколько двузначных чисел можно составить, если использовать только цифры 0, 1, 2?
Консультация
11
Решение. Подсчитаем их количество по правилу умножения: первую цифру для такого числа можно выбрать двумя способами - 1 или 2; после этого вторую цифру можно выбрать тремя способами -О, 1 или 2. Всего таких комбинаций будет 2-3 = 6.
Пример 2. Из Калуги в Москву и из Москвы в Калугу можно добраться тремя способами: на автобусе, на электричке и на такси. Сколькими способами можно совершить поездку из Калуги в Москву и обратно.
Решение. Вновь воспользуемся правилом умножения. Поехать из Калуги в Москву можно тремя способами (автобус, электричка, такси); вернуться после этого обратно можно также тремя способами. Всего таких комбинаций будет 3 3 = 9.
Пока мы специально приводили уже рассмотренные ранее примеры, в которых количество комбинаций можно было посчитать и напрямую, перечислив один за другим все варианты. Рассмотрим ситуации, где это уже невозможно.
Пример 3. В классе из 30 учеников нужно выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Старосту можно выбрать 30 способами, после чего заместителя - 29. Всего комбинаций будет 30 • 29 = 870.
Пример 4. Из класса, в котором учатся 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать девочку и мальчика для того, чтобы вести Новогодний вечер. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Девочку можно выбрать 15 способами, мальчика - 10. Всего комбинаций будет 15 • 10 = 150.
Правило умножения распространяется и на общий случай, когда количество элементов в комбинации больше двух.
Правило умножения. Если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент -Ь способами, третий элемент - с способами и т.д., последний элемент - г способами, то общее число комбинаций будет равно а • Ь • с ... г.
Пример 5. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?
Решение. Первое место может занять любая из 16 команд. После того, как чемпион выбран, серебряного призера можно выбрать 15 способами. После этого бронзового призера можно выбрать 14 способами. Всего комбинаций будет 16 • 15 • 14 = 3360.
Пример 6. В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из восьми цифр 0 и 1, например:
01000110 - код буквы «Г»;
00110010 - код цифры «2» и т.д.
Сколько различных символов можно закодировать таким образом? Другими словами, сколько существует двоичных кодов длины 8?
Решение. Первую цифру кода можно выбрать двумя способами, после чего вторую цифру - тоже двумя способами и т.д. Всего получаем 2-2-2-2-2-2-2-2= = 28 = 256 различных двоичных кодов.
Если правило умножения использовать для подсчета комбинаций, в которых порядок следования элементов не важен, то полученный результат будет ошибочным: ведь в таких комбинациях не нужно учитывать какой элемент был выбран первым, какой — вторым и т.д. Для правильного ответа в таких случаях нужно использовать правило деления: если при подсчете комбинаций по правилу умножения каждая из них была по-
2'
12
Математика в школе 5/2011
считана к раз, то полученный результат нужно поделить на к.
Типичный пример такой ситуации -подсчет неупорядоченных пар.
Пример 7. Из класса, в котором учится 25 человек, нужно выбрать двоих для участия в олимпиаде по краеведению. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Первого ученика можно выбрать 25 способами, после чего второго - 24 способами. Всего таких способов будет 25 • 24 = 600. Однако при выборе пары учеников для участия в олимпиаде их порядок в паре не имеет значения. Получается, что каждую пару мы посчитали дважды, поэтому правиль-
- 25-24 _
ным ответом будет -= 300.
2
Пример 8. Из 11-ти футболистов, участвовавших в матче, нужно выбрать троих для проведения антидопинговой пробы. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Первого игрока можно выбрать 11 способами, после чего второго - 10, и третьего - 9 способами. Всего таких способов будет 11 • 10 • 9 = 990. Однако при выборе тройки футболистов порядок их следования не имеет значения. Получается, что каждую тройку мы посчитали 6 раз (троих выбранных футболистов можно упорядочить 6 способами - легко доказать по правилу умножения), поэтому правильным ответом будет
Но бывают ситуации, в которых правило умножения не помогает даже в сочетании с правилом деления. В них после выбора одного из объектов в качестве первого элемента комбинации нельзя однозначно сказать, сколькими способами можно выбрать второй элемент - это зависит от того, какой именно элемент
был выбран первым. Рассмотрим такую ситуацию на примере.
Пример 9. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы первая цифра была меньше второй. На первое место цифру можно выбрать 4 способами, а вот на второе место после этого:
