Математика в школе - Бунимович Е.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 5. Какова вероятность того, что в записи наудачу выбранного натурального трехзначного числа содержатся только цифры 3, 4, 5 и 6?
Решение.
1. Испытание: выбор натурального трехзначного числа.
2. Для подсчета п будем рассуждать следующим образом. Запись трехзначного числа состоит из трех цифр. Каждую цифру числа будем изображать как ?. Значит, само трехзначное число мы изобразим следующим образом.
Первую цифру можно выбрать девятью способами, т.к. на первом месте может стоять любая цифра, кроме ноля.
9
Вторую цифру можно выбрать десятью способами.
9
10
Третью цифру также можно выбрать десятью способами.
9
10
10
Следовательно, по правилу произведения п = 9 • 10 • 10 = 900.
3. А = {В записи числа содержатся только цифры 3, 4, 5 и 6}.
4. Находим т.
Первую цифру можно выбрать четырьмя способами, т.к. на первом месте может стоять любая из предложенных цифр.
4
Вторую цифру также можно четырьмя способами.
4 4
Третью цифру также можно четырьмя способами.
4 4 4
зо
Математика в школе 5 / 2011
Следовательно, по правилу произведения т = 4 • 4 • 4 = 64.
64 16
5. Р(А) =
900 225
Ответ:
16 225'
Задача 6. Какова вероятность того, что в записи наудачу выбранного натурального трехзначного числа все цифры различны?
Решение.
1. Испытание: выбор натурального трехзначного числа.
2. Рассуждая аналогичным образом (см. задачу 5), находим п = 900.
3. А = {Все цифры в записи числа различны}.
4. Первую цифру можно выбрать девятью способами, т.к. на первом месте может стоять любая цифра, кроме ноля.
Вторую цифру можно выбрать девятью способами, т.к. на втором месте может стоять любая цифра, кроме цифры, выбранной на первое место.
Третью цифру уже можно выбрать восемью способами, т.к. на третьем месте может стоять любая цифра, кроме тех двух цифр, которые уже выбраны на первое и второе места.
9
9
8
Следовательно, т = 9 • 9 • 8 = 648. 5.
Р(А)_^_0,72.
900
Ответ: 0,72.
Задача 7. Какова вероятность того, что наудачу выбранное натуральное трехзначное число кратно 5?
Решение.
1. Испытание: выбор натурального трехзначного числа.
2. п = 900.
3. А = {Число кратно 5}.
4. Первую цифру можно выбрать девятью способами, т.к. на первом месте может стоять любая цифра, кроме ноля.
Вторую ЦИ( способами. 9
эру можно вы(
9 10
Третью цифру можно выбрать двумя способами, т.к. для того, чтобы число было кратно пяти, оно должно оканчиваться либо на цифру 0, либо на цифру 5.
9 10 2
Следовательно, т = = 91
0 • 2 = 180.
Р(А)=180=0,2. 900
Ответ: 0,2.
Далее рассмотрим задачи на так называемую урновую схему (когда выбор осуществляется без возвращения и без учета порядка следования элементов). В задачах этого типа рассматривается некоторый набор из N элементов, которые по определенному признаку можно разбить на две (или более) группы в зависимости от условия задачи. Пусть, для определенности, нужным признаком обладают К элементов. Наудачу из этого набора выбирают п элементов. Требуется определить вероятность того, что среди них только & элементов будут обладать указанным признаком.
Рис. 4
Открытый урок
31
При решении этих задач удобно использовать схему, изображенную на рис. 4.
Задача 8. Из урны, содержащей 5 белых и 6 черных шаров, наугад извлекают четыре шара. Какова вероятность того, что среди них будет только один белый шар?
Решение.
Составим схему (рис. 5).
по условию задачи
Рис. 5
1. Испытание: из 11 шаров наугад извлекают 4 шара.
,4 П!
2. п = С^=-
- 330 (см. централь-
4!7! ную часть схемы).
3. Согласно условию задачи, среди четырех извлеченных шаров должен быть только один белый шар, а, значит, черных шаров должно быть 3. Следовательно, событие А = {Среди извлеченных шаров 1 белый и 3 черных шара}.
4. По правилу произведения 5! 6!
5 6 1!-4! 3!-3!
= 100
(см. боковые части схемы).
5. Р(А) =
сЬа3 юо
_ ^5 ^6 _
ззо
10 33'
Ответ: —
10 33'
Задача 9. В коробке десять кубиков, три из которых окрашены. Какова вероятность того, что среди пяти кубиков, на-
удачу извлеченных из этой коробки, два кубика будут окрашены? Решение.
Составим схему по условию задачи (рис. 6).
Рис. 6
1. Испытание: из 10 кубиков наугад извлекают 5.
10!
2. п = С1й0 =
= 252.
5!5!
3. А = {Среди извлеченных будет 2 окрашенных и 3 неокрашенных кубика}.
,2 3! 7!
4. т = С3 • С7 =
2!1! 3!-4!
= 105.
5.
Р(А) = ^3 ^7 = 10^ _
Сх50 252 12"
Ответ: —
5_ 12
Задача 10. В классе из 25 человек -15 мальчиков. Какова вероятность того, что среди 4 человек, отобранных случайным образом из этого класса, окажется не более двух мальчиков?
Решение.
Составим схему по условию задачи (рис. 7).
1. Испытание: из 25 человек случайным образом выбирают 4.
2. л = С?5 =12650.
3. Согласно условию задачи, среди выбранных 4 человек должно быть не
32
Математика в школе 5/2011
более двух мальчиков, а значит, возможны следующие варианты: 2 мальчика и 2 девочки или 1 мальчик и 3 девочки или 0 мальчиков и 4 девочки (см. схему). Следовательно, событие А = {Среди выбранных четырех человек будет 2 мальчика и 2 девочки или 1 мальчик и 3 девочки или 0 мальчиков и 4 девочки}.
