Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
|/(*)<&=*Д-А) + у/(0) + ^ ДА) + Л, (7.2.11)
где взяты три узла ^о=— К ^1=0, ^2 = А и соответствующие веса 4
Яо = Я2 = А/3, Ц\— — к. Получаемая квадратурная формула
е=з(/Ы)+4/(0)+/(А))
(7.2.12)
называется формулой Симпсона или формулой парабол. Последнее название связывается с тем, что (7.2.12) — формула интеграла от параболы, проведенной через точки ( — А, Д-А)), (0, ДО)), (А,
то
Пх)
/X7
\ дм
) ТСо)
1 Г > ' \ г
-ь
о
Рис. 7.4
ДА)) плоскости (х, у). Покажем это. Парабола, проходящая через указанные точки, записывается в интерполяционной форме:
/>2(*)=/М)
Вычисляем интеграл
-А)
—А(—А —А)
+/(0)
(х +А)(л
'*) |ДД)*(*+Л)
п
I
-Л
/г(—/г)
А -2А
+
281
к , /(0)4// , /(/і)Л
_| 1 -------------------
3 3 3
и получаем правую часть (7.2.12).
Приведем без доказательства утверждение об оценке погрешности Я в (7.2.11).
Теорема 7.3. Пусть /(лг)єС4Г — А, А]. Тогда погрешность квадратурной формулы Симпсона Л (А,/) имеет вид
Из (7.2.13) следует, что квадратурная формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.
Применение простейших квадратурных формул требует вычисления значения подынтегральной функции /(х):
в одной точке—для формулы прямоугольников,
в двух точках—для формулы трапеций,
в трех точках—для формулы Симпсона.
Однако, несмотря на малый объем вычислений, область практи-
ческих приложений простейших формул ограничена лишь малыми интервалами, поскольку при увеличении А погрешность становится значительной. Это следует из формул (7.2.3), (7.2.10) и (7.2.13).
На конечных интервалах интегрирования обычно применяют составные квадратурные формулы.
Если длина интервала [а, А] велика для применения простейших квадратурных формул, то поступают следующим образом:
1) интервал [а, 6] разбивают точками 0^/^л, на п интервалов по некоторому правилу;
2) на каждом частичном интервале [*4, л^+1] применяют простейшую квадратурную формулу, находят приближенное значение интеграла
3) из полученных выражений ()1 составляют (отсюда название составная) квадратурную формулу для всего интервала [а, А];
4) абсолютную погрешность Я составной формулы находят суммированием погрешностей Яг на каждом частичном интервале.
7.3.1. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом. Одним из наиболее простых правил разбиения интервала [а, 6] на частичные интервалы [л:г, л^-ц] является условие
(7.2.13)
где ?,— некоторая точка интервала [ — А, А].
ф 7.3. Составные квадратурные формулы
І+1
I /(х)йх^<2(,
282
хі + 1—Хі = А, 1, х0 = а, хп = Ь.
ч
а
-4—0—І—О—І-
Х0 X, х2
-------1—О—І—
Хі ХІ41 ХП-1 ХП
Рис. 7.5
Шаг определяется равенством
1г = (Ь — а)/п.
Пусть /(.х)еС2[а, 6]. Обозначим значение функции /(х) в середине интервала ^ + 1] (рис. 7.5)
/(*,+й/2 )=/;+1/2.
Тогда можно переписать (7.2.1) для каждого интервала в виде
Т/(*)^=*/ц+?т
(7.3.1)
Суммирование по / (7.2.14) приводит к составной формуле прямоугольников с постоянным шагом
Ь п-1
В силу равенства
I""1
и
і = о п
составная квадратурная формула прямоугольников с погрешностью Я принимает окончательный вид
1Дх)йх=к X /;+І+Д,
/ = 0 л2(6-я)
(7.3.2)
24
/19-
Обозначим (рис. 7.6) значение функции Дх) в точках х( ^ т
/(*;)=/•
Тогда по аналогии с формулой прямоугольников из (7.2.8) получим составную квадратурную формулу трапеций с постоянным шагом:
1 • • • I
Рис. 7.6
283
к=-^т
(7.3.3)
Здесь Е,—некоторая точка интервала [а, 6].
Для построения составной формулы Симпсона разобьем интервал [а, 6] на четное число частичных интервалов 2т (рис. 7.7):
2т = (Ь — а)1к.
Суммируя (см. (7.2.11))
1 /(*У*=^(/2.+4/2, + 1+/2;+2)> о < / < т — 1,
'
по / от 0 до »т—1, получим составную квадратурную формулу Симпсона с постоянным шагом:
Ь 1 / т т-1 \
,|/(х)^х=-(/о+4 ^/2(_1+2 ? /гг+/2т) + -К,
О 3 \- 1=1 1=1 /
<73.4)
Здесь Е,—некоторая точка интервала [а, 6].
Введем обозначения для квадратурных формул. Формула прямоугольников
6" = а’Е/<+1/2. (7.3.5)
А/ "~1
Формула трапеций
е:-1(/.+2(7-з-б>
Формула Симпсона
б? = ^/о+4 +2т1 /21+/2-). (7-3.7)
Для примера вычислим интеграл
1
1= [ ех йх У | 0
с помощью трех квадратурных формул и сравним ответ с точным
V V V У значением /=е-1 =
2т-2 2т-1 2т Л = 1,7182818. Пусть Л = 0,1.
Рис. 7.7 Тогда
284 ^
V.
е?,1=0,1(ео’О5+еОД5+ео-25+ео-35+ео-45+ео-55+ео'65+е°-75 +
+ eO,85+eO,95)=j)7176;
бод =0,05(ео,о+2(ео,1+ео,2+ео,3+ео’4+ео,5+ео,б+ео,7 +
+ е°.8+е0,9) + е1)=1 7197;
6 од = -у- (е0,0+4(е0,1+е0,3+е0,5+е0,7+е0,9)+2(е0,2+е0,4 +
+е°-6+е0-8)+е1) = 1,7182828.
Точное значение / в соответствии с (7.2.15) — (7.2.17) определяет точки Е, в формулах для погрешностей R:
I=Qli+^еЧ ?=0,365; /=65,1-^е*. 4=0,532; /=6§,i-^e^, 4 = 0,588.
На практике значение Е, в формулах для R неизвестно, поэтому шаг интегрирования h выбирается но заданной абсолютной точности с вычисления интеграла из следующих условий: для формулы прямоугольников
Н24^-а1^ь1Г^1 = г; для формулы трапеций
^(6-а)тах|/''(*)|=е;
для формулы Симпсона
a) max |/IV (x)| = e.
180V }a^bU V Л
Таким образом, шаг h, а следовательно, число точек п, в которых вычисляется f(x), определяется значениями д: с наихудшим поведением f[x) с точки зрения погрешности R.
