Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 93

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 168 >> Следующая

Такое правило выбора разбиения интервала может приводить к избыточным вычислениям, если f(x) имеет частичные интервалы с «плохим» поведением малой суммарной длины относительно Длины [,а, b] (рис. 7.8).
Примером функции такого типа является f(x)=e~x/G, 1.
Выбирая шаг по наихудшей точке для формулы прямоугольников при стс1, имеем значение /г = а^/24е, малое для всего интервала [0, 1]. Почти на всем интервале величина этого шага излишне мелкая для обеспечения заданной точности, а следовательно, будут произведены избыточные вычисления.
285
Рис. 7.8
Чтобы освободиться от указанного недостатка составных квадратурных ффмул с постоянным шагом, исходный интервал разбивают на частичные интервалы различной длины. Причем длина частичных интервалов определяется локальными свойствами /(л:) (на данном частичном интервале) и заданной точностью интегрирования.
7.3.2. Составные квадратурные формулы с переменным шагом. Рассмотрим интегрирование функций /(.х)еС2[а, 6] с дополнительным ограничением:/" (х)—монотонная знакоопределенная функция на интервале [а, Ь\
Пусть для определенности /" (х)—монотонно убывающая положительная функция (рис. 7.9). Положим х0 = а. Определим наибольшее значение хх из условия, чтобы погрешность простейшей квадратурной формулы прямоугольников Я0
\ /^(Ьс^х^хо)/ ?0
_(*1-*0)3
24
г®, Х0^Х19
(7.3.8)
не превышала заданной величины в. Очевидно, достаточно решить относительно хх уравнение
что для этого
24
/"(х0) = е.
Имеем
24е
/" ы
1/3
+х0
Следующие границы частичных интервалов определяются аналогично. Длина частичных интервалов монотонно возрастает. Общая формула такова:
248 /" (*.)
1/3
(7.3.9)
Количество интервалов к заранее не известно, оно определяется как точностью г, так и поведением /" (л:) на интервале [а, Ь\
286
V
I
4
Однако верхняя оценка для к легко определяется по длине наименьшего частичного интервала:
Суммируя (7.3.8), получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:
где х1 определяется рекуррентно формулами (7.3.9). Для погрешности Я имеем оценку |7?|<А:е.
Если /"(*)—монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево от точки Ь к а. Для отрицательной функции /" (*) и монотонно возрастающей частичные интервалы определяются слева направо от а к Ь, для убывающей—справа налево от Ъ к а.
В качестве иллюстративного примера рассмотрим задачу интегрирования на интервале [0, 1] функции
с точностью 8=10 4 на каждом частичном интервале. Определяя границы интервалов по формуле (7.3.9), получаем: *0 = 0,000;
*7 = 0,299; *8 = 1,000. Таким образом, общая погрешность составной квадратурной формулы прямоугольников с переменным шагом, полученная на восьми частичных интервалах, имеет оценку 7?^8х х 10-4 таКуЮ же погрешность с помощью составной квадратурной формулы прямоугольников с постоянным шагом можно получить на 721-м частичном интервале
Если /"(*) на всем интервале [а, 6] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то следует сначала разбить интервал [я, Ь] на частичные интервалы, на которых /" (*) монотонна и знакоопределенна, а затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом (рис. 7.10) по приведенным выше формулам.
Квадратурные формулы (7.2.19), (7.20.20) были построены
на основе простейшей формулы прямоугольников. Аналогичные
/(л;)=е“*/а, а= 10~2
к ——-^== — 721, о ^/24 Я
если выбирать шаг к на всем интервале из условия
—(1—0) тах (е~х1а)"=Л. 24
287
У
формулы можно вывести и для простейшей формулы Симпсона с той лишь разницей, что нужно интервал [я, 6] разбить на частичные интервалы, на которых /1У (х) монотонна и знакоопределенна. Более общие методы интегрирования с переменным шагом изложены в [2].
ь
I
Рис. 7.10
Наряду с достоинствами квадратурных формул с пере-
менным шагом, проиллюстрированными на примере, отметим их недостатки.
1. В формуле (7.3.9) или (7.3.10) необходимо вычислять значение /"(*)—это дополнительная работа по сравнению с (7.3.2).
2. Получение информации о поведении /" (х)—определение интервалов монотонности и знакоопределенности—это также дополнительная вычислительная работа.
Поэтому, прежде чем отказываться от постоянного шага интегрирования и переходить на переменный, следует убедиться, что достоинства превосходят недостатки. Как правило, дополнительная вычислительная работа оправдывается при серийных вычислениях (см. гл. 5).
• 7.4. Оценка погрешности численного интегрирования
7.4.1. Общая погрешность численного интегрирования. Формула численного интегрирования имеет вид
—квадратурная формула, Л — погрешность квадратурной формулы. При вычислении по формуле (7.4.2) вносится погрешность из-за погрешности задания значений весов и погрешности вычисления /(?,•), связанной с погрешностью задания узлов.
Таким образом, абсолютная погрешность численного определения интеграла по формуле (7.4.2) может быть представлена (см. гл. 5) в виде
где Д<7?—абсолютная погрешность весов, — абсолютная погрешность узлов.
ь
1=\/{х)<1х=0-+К’
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed