Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
i = 0 i = 0 i = 0
Для ортонормированных систем (||&||2 = 1) формула погрешности упрощается:
R2 = \\f\\2-tal
i = О
Если функция f(x) задана таблично или интегралы в правой части (6.5.5) аналитически не вычисляются, то переходят к среднеквадратичной дискретной аппроксимации.
6.5.2. Среднеквадратичное дискретное приближение. В качестве нормы аппроксимации функции f (х) семейством функций g(x, а) на заданном интервале переменного х принимаем
/ 1 m \ 1/2
a))j > (6-5-10)
где Xj—фиксированные узлы интервала. Заметим, что эта норма функций определяется следующим скалярным произведением:
1 т л т
S “WpW* 1“11а-=тт1“2(^ (6-5Л1>
' j = 0 ' ) = о
Формула (6.5.10) может быть записана точно так же, как и (6.5.6),
а именно
R2=(f(x)-g(x, a), f(x)-g(x, а)).
271
Здесь только нужно помнить, что скалярное произведение задается в m-мерном пространстве векторов (п(х0), и{х$, ..., и(хт)) формулой
(6.5.11).
Так же, как в п. 6.5.1, поставим задачу аппроксимации функции f(x) элементами семейства g(x, а\ я = (я0> а\> — > ап)• При этом выберем элемент g{x, а) таким, чтобы норма отклонения от f(x)
R=\\f-g{x, в) II,
заданная формулой (6.5.10), была минимальной в семействе
g(х, а) = a0g0 (х)+atgх (х) + ... + a„g„(х),
т. е. найдем • элемент наилучшего среднеквадратичного дискретного приближения. \t
Повторяя рассуждения п. 6.5.1, получим, что коэффициенты aif 0должны удовлетворять системе линейных алгебраических уравнений (6.5.5). Справедлива следующая теорема.
Теорема 6.8. Пусть узлы хр таковы, что
определитель матрицы
Gi,k = (gb gk)> 0</, k^n,
отличен от нуля. Тогда для любой функции f (х) существует единственный элемент наилучшего среднеквадратичного дискретного приближения в семействе g(x, а).
Коэффициенты а( определяются решением системы (6.5.5). При наличии п = т и различных узлов Xj элемент наилучшего приближения является интерполяционным полиномом, в этом случае R — 0.
Рассмотрим некоторые примеры выбора семейств функций g(x, а).
Пример 1. Семейство g(x, а)—полиномы и-й степени
g(х, а) = а0 + а1х + а2х2 +... + апхп. (6.5.12)
Из (6.5.12) определяем gt(x),
Я0(х)=1; gt(x)=x; g2(x)=x2; ...; g„(x)=xr.
Скалярные произведения
1 т
(gb gk) = -^Ygi(Xj)gk(Xj),
1 т
{gb /)=—т Ё gi(xj)A*j)
m-hij=0
с учетом того, что ft(jc) = xl, принимают вид
Gi,k = (gb gk) =—~т ? xJ+k’ k^n’
т+1 j = o 1 m
bi = (gb /) = —гг Ё x‘if(xjh 0
m-r i j=о
272 ^
V,
Можно доказать, что если все узлы х0, хи ..., хт различны, п^т, то
(Іеі 7^0.
Систему (6.5.5) представим в форме
п
Е ОІЛак=Ьі, 0(6.5.13)
к-0
Решение (6.5.13) — (я0, аІ9 ..., ап)—определяет полином, наилучший в смысле среднеквадратичного дискретного приближения.
Пусть функция /(х) = у/х задана таблично:
х} О 0,1 0,2 0,4 0,6 0,9 1,0
/(*,) 0,000 0,316 0,447 0,632 0,775 0,949 1,000 Из (6.5.13) найдем полином первой степени:
g(x,> а)=а0 + а1 х.
Имеем
1а0 + 3,2а1= 4,119,
3,2я0 4- 2,38я! = 2,693;
отсюда = 0,185, = 0,883, искомый полином
РI (х) = 0,185 4- 0,883л:.
Следует обратить внимание на тот факт, что при больших п определение полинома наилучшего приближения вида (6.5.12) становится практически невозможным. Это связано с тем, что строки матрицы оказываются почти линейно зависимыми, а определитель имеет значение, близкое к нулю.
В качестве иллюстрации этого явления запишем две последние строки матрицы С,-,* рассматриваемого примера при п = 5. Имеем
*4 = Е Х^0 + Е х]а1 +Е*/а2 + Е * ]°3 + Е х1а4 + Е *5 = Е Х1аО + Е Х1а1 +ЕХ/а2 + Е ^ + Е Х1а4 + Е *)°а5-
Вычисляя суммы, получим
Ь^ = 1,813#о 4-1,679#1 -Н1,582^2 4~ 1,508#3 4-1,448#4 4- 1,397= 1,739,
65 = 1,619а0 +1,582*! +1,508а2 +1,448я3 +1,397я4 +1,354а5 = 1,627. Нетрудно проверить, что
^4 — 1,06^5 4” 0,03
(.Е
где числа аг имеют порядок 1, т. е. с точностью до 0,03 эти строки линейно зависимы.
Решение таких систем линейных уравнений приводит к большой вычислительной погрешности. Чтобы избежать этого, при больших л рекомендуется применять другие семейства g(x, а), в частности
273
разложения по полиномам Чебышева, которые рассматриваются в примерах 2 и 3.
Пример 2. Пусть аппроксимируемая функция /(х) задана на интервале [—1, 1]. Пусть имеется возможность выбрать узлы хр О на которых минимизируется среднеквадратичное дискрет-
ное отклонение g(x, а)—/(х).
Выберем в качестве узлов ду те, на которых ортогональны полиномы Чебышева (см. (6.4.4)), а именно:
х =со5 0., 0 =—0</<т. л J т+1
В качестве семейства g{x, а) возьмем
#(*> й)= Е а1Т1(х)’ п^т’ (6.5.14)
/ = О
т. е. gi (х), 0 ^ — полиномы Чебышева
#.(*)= Г* (*),
Скалярное' произведение, вычисленное с помощью (6.4.4),
^к) = 0, 1фк, указывает, что система функций &(л;) ортогональна. Следовательно, как и в интегральном случае, находим коэффициенты а{ элемента наилучшего среднеквадратичного приближения в явном виде:
в,=?Ц, 0<г<и.
Из (6.4.4) следует,* что
[1, /=о,
(?|. &) |1/2) (#0.
Таким образом, получаем формулы
* т
<к=—Г Е Тг (ХМХ^ 1 < * < и.
Пример 3. Пусть функция /(*) задана на интервале [—1, 1] таблично в произвольных узловых точках хр В качестве
