Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
|| Ах || < г. (8.1.4)
Множество точек х = х0 + Ах, удовлетворяющих (8.1.4), называется
шаром в Еп радиуса г с центром в х0. На рис. 8.2 приведены
примеры шаров для некоторых норм в Е2.
Чтобы найти абсолютную погрешность Ау вектора у, запишем
(8.1.3) в виде
у-\-Ау=А (х+Дх).
Рис. 8.2
Отсюда получаем связь вектора погрешности Ау к точному значению у с вектором погрешности Ах вектора х:
Ау = ААх.
Из определения нормы матрицы находим
ИДЯ = МД*КМ1111ЛхКМ|г. (8.1.5)
Напомним, что норму матрицы А можно задать формулой (эквивалентной определению п. 5.3.10)
||Л||=тах || Ах\\.
11*11=1
Геометрическая интерпретация нормы матрицы—максимальная норма вектора, получаемого преобразованием А единичной сферы ||*||=1 (рис. 8.3). Неравенство (8.1.5) показывает, что радиус шара погрешности вектора у изменяется в || И || раз.
Теорема 8.1. Пусть система линейных уравнений (8.1.2) для любого вектора Ъ имеет единственное решение. Тогда имеет место неравенство
И Аде КМ-1 IIII Л6||, (8.1.6)
где А6, Л*—векторы абсолютной погрешности Ъ, * соответственно.
Доказательство. В силу предположения однозначной разрешимости (8.1.2) для любого Ь существует матрица А~\ обратная матрице А. Используя И“1, запишем решение (8.1.2):
х = А~1Ь. (8.1.7)
Применяя к (8.1.7) неравенство (8.1.5), получаем (8.1.6), что и требовалось доказать.
В качестве примера рассмотрим систему уравнений (8.1.2) с двумя матрицами второго порядка
Рис. 8.3
303
. лх =
?J
10 О 10/’
Ао —
0,1
3'
0 0,1
для которых легко определить обратные матрицы ,_/0,1 —0,03\ -300
11 Д о 0,1]’ 2 \о ю
В качестве векторной и соответственно матричной нормы возьмем
М lloo= max X Kjl
1 j= 1
Погрешность решения первой системы имеет оценку
II Ад: II<0,13 ||АЙ II,
второй—оценку
||А*||<310||АД||,
причем знак равенства достигается на векторе АЬ с координатами разных знаков (рис. 8.4).
Для характеристики чувствительности системы линейных уравнений (8.1.2) к погрешностям правых частей вводятся числа обусловленности.
Число обусловленности системы ц определяется как максималь-
* II Ах ||
ное отношение относительной погрешности решения 0* = ———
к относительной погрешности правой части 5Ь =
I АЬ |
ц=тах —.
Число обусловленности системы ц можно выразить через ||у4_1||. Действительно, имеем
II Ах || || ? || _ |ЦЧ1 II Ах ||
и II
ц=шахт—г-т = тг-7max '±-А ~ = II А 11
х IIII Ab II ||*||.|| Ab II 11 II* II
Заметим, что ц = ц(й) зависит от вектора в правой части и решения *, соответствующего Ъ. Второе число обусловленности характеризует только матрицу системы А.
304 \
Число обусловленности v матрицы А есть максимальное по всем векторам b значение р(6):
v = max р(6).
ь
Число обусловленности v можно записать в следующей форме (с учетом Ц6КМШМ1):
v=max || Л -11| jj—j|=|l Л -1IIМ ||.
* II -х II
Из цепочки соотношений
1 = ||?|| = М-1И|К||И-11| Mll = v, где Е—единичная матрица, следует, что v^l.
Для приведенных выше примеров у1 = 1,69, v2 = 961. Рассмотрим задачу решения системы уравнений с матрицей А2 и различными векторами b = {bu Ь2), компоненты которых
задаются с пятью верными значащими цифрами. Тогда значение v2 = 961~103 указывает, что решение * этих систем можно вычислить лишь с двумя верными значащими цифрами.
Для конкретной правой части, например b = ( 1, 0), имеем х = (10, 0), число р2 = 31. Оно указывает, что решение х этой системы можно вычислить не менее чем с тремя верными значащими цифрами.
Оценим теперь погрешность решения исходной системы уравнений (8.1.2) в том случае когда матрица системы А задается
с погрешностью А А, а вектор b — точно.
Теорема 8.2. Пусть система линейных уравнений (8.1.2) для любого вектора b имеет единственное решение. Пусть
|| Л"1АЛКа<1. (8.1.8)
Тогда (8.1.2) однозначно разрешима с матрицей (А + АА) и имеет место неравенство
' (8л_9)
11*11 1-ос МП
Доказательство. Представим уравнение (8.1.2) в виде
(А + А А) (х+Ах) = Ь.
Из этого равенства находим
А(Е+А~1АА){х + Ах) = Ь,
{Е+А-1АА){х + Ах) = А-1Ь. ( }
Из условия (8.1.8) следует существование обратной матрицы {Е+А~1АА)~1 и ее представление (см. гл. 5)
00
(Е+А-1АА)-у=^{А~1АА). (8.1.11)
1 = 0
305
Подставляя (8.1.11) в (8.1.10), находим
х+Ах = А ~гЬ+ ? (Л~1АА)1А~1Ь,
1=1
отсюда
00
Ад; = А~1АА ? (А~1АА)1А~1Ь.
1 = 0
Переходя к оценкам норм, получаем
| Ax КМ “Ml II АЛ ||^ ZJA-'AAV) МК . , |М || |М -11| || || || х || М -1IIМIIIIА А ||
1-а (1—а) || А ||
откуда следует (8.1.9), что и требовалось доказать.
Можно пблучить оценку относительной погрешности решения
(8.1.2) в общем случае, когда матрица А и вектор Ъ задаются с погрешностью А А и А Ъ соответственно.
Формулировка теоремы 8.2 остается прежней, а оценка (8.1.9) заменяется следующей:
||Д*|| (8.1.12)
||х|| 1—ос _
Неравенство (8.1.12) показывает, что влияние погрешности матрицы А и вектора Ь на погрешность решения связано с двумя числами а, V.
Число а определяет допустимую погрешность матрицы А, которая еще сохраняет однозначную резрешимость систем (8.1.2). Для рассмотренных выше примеров 0,131| А А || = а15 3101| А А || = а2. Отсюда получаем ограничение на допустимую погрешность матрицы системы: для первой системы || ||< 13, для второй || А^42 || <
