Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
>0 = {9i(j)<^^<P2(j), c^y^d},
где часть границы определяется непрерывными функциями ф г ( v). Ф2{у) (рис. 7.14).
Требуется вычислить интеграл
d Ф2 (з7)
I==Hf(x’y)dxdy=idy J f{x,y)dx. (7.6.6)
D с Ф1 (з7)
298
V
Сведение двойного интеграла к повторному (7.6.6) позволяет дважды применить одномерные квадратурные формулы (например, формулы Г аусса).
Исходный интеграл запишем в виде
ФгМ
»М= 5 /(*,у)<Ь, (7.6.7)
ф Лу)
У=\»{у)<1у. (7.6.8)
С
Интеграл (7.6.8) вычислим с помощью одномерной формулы Гаусса:
Y=\v{y)dy= ? г^(^)+Лх;
с j- О
(7.6.9)
веса Г} и узлы г}7- определяются, как указывалось выше, приведением к стандартному интервалу [—1, 1]. Затем каждое значение v(r\j) вычислим, используя (7.6.7), также по одномерной формуле Гаусса:
Ф2(Л/) т
®Ю= j /(*> лj)dx= I T\j)+R2
Ф1Ы i = О
(7.6.10)
где веса qtj и узлы L,Uj зависят от выбора узлов ц^ Объединяя формулы (7.6.10), получим формулу Гаусса для рассматриваемой области D:
I=Q + R,
п т
6= Z г) Е (7.6.11)
j=0 1=0
где R—общая погрешность, зависящая от числа узлов и свойств гладкости функции /(х, у).
7.6.3. Применение программы А4А2. В программе реализован алгоритм вычисления интеграла (7.6.6) по формуле (7.6.11) с выбором числа узлов по заданной абсолютной погрешности вычис-3 ления /.
Пусть необходимо вычислить
1 siny+1
I=\dy J exp (x2+y2)dx
0 cos у - 2
с абсолютной точностью 10_4. Программа может иметь следующий вид:
REAL A,B,E,Z INTEGER N,I EXTERNAL F1,F2,F DATA A,B/0.,1./,E/1.E—4/,I/O/
299
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ А4А2
CALL А4А2(А, В, F1,F2, F, Е, Z, N, I)
С ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ
WRITE (5,1) Z,N,I 1 FORMAT (2X,'Z=',E13.6,'N=', 15/1=', 12)
END
С ВНЕШНИЕ ФУНКЦИИ-ПОДПРОГРАММЫ
FUNCTION F1(Y)
F=COS(Y)-2.
RETURN
END
FUNCTION F2(Y)
F2 = SIN<Y)+1.
RETURN
END
FUNCTION F(X,Y)
F = EXP(X*X + Y*Y)
RETURN
END
\
V.
Глава 8
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
# 8.1. Оценки погрешности решения задач линейной алгебры
8.1.1. Введение. Численные методы линейной алгебры и линейной оптимизации играют особую роль в численном анализе. Это обусловлено по крайней мере двумя причинами.
Во-первых, многие линейные задачи математического анализа, дифференциальных и интегральных уравнений после дискретизации сводятся к решению задач линейной алгебры. Таким образом, численные методы линейной алгебры оказываются инструментом численного решения обширного круга математических, а следовательно, научно-технических задач.
Во-вторых, можно сформулировать следующее нестрогое утверждение: большинство нелинейных задач «в малом» линейны, т. е. нелинейные модели в малой окрестности некоторого решения могут быть описаны линейными. В основе конечномерных линейных моделей лежит линейная алгебра; следовательно, первым шагом решения нелинейных задач является исследование линеаризованных моделей, их дискретизация и численные методы линейной алгебры.
Однако, как нельзя недооценивать роль линейной алгебры и ее численных методов, так и не следует переоценивать ее среди инструментов решения научно-технических задач. Реальные математические модели все-таки нелинейны, обычно необходимо изучить модель «в целом», а не «в малом». Следовательно, полный арсенал методов вычислений должен содержать нелинейный численный анализ.
В гл. 5 отмечалось, что потребность в численных методах линейной алгебры связана в основном с размерностью задачи. Ддя малых размерностей п конечномерного пространства (я<4) задачи линейной алгебры решаются аналитически на уровне формул.
Естественно, что численные методы применимы как для размерностей п ^ 5, так и для малых размерностей п = 2, 3. Поэтому все основные проблемы численного решения линейных задач можно и нужно представлять наглядно, геометрически, на плоскости или трехмерном пространстве. Численный метод, представленный геометрически в малой размерности, имеет все основные черты, присущие ему и в большой размерности, отличаясь лишь меньшим объемом арифметических операций. Есть, конечно, проблемы, связанные именно с размерностью п (ограничение памяти ЭВМ, ошибки длинных вычислений); их следует рассматривать отдельно.
301
Рис. 8.1
8.1.2. Оценку погрешности решения систем линейных уравнений.
Система линейных уравнений с матрицей вещественных коэффициентов А = (а( 1 и вектором свободных членов Ь = (Ьи ..., Ьп)
относительно неизвестного вектора х=(х1? х„) записывается
следующим образом:
'«1,1*1+«1,2*2 + -+аипхп=Ьи
а2ЛХ1 +а2,2Х2 + +а2,пХп — ^2’ (8.1.1)
ап, 1Х1 + ап,2 Х2 + -•• + ап,пХп — Ьп,
или в матричной форме
Ах — Ъ. (8.1.2)
Каждое уравнение (8.1.1) описывает прямую (п = 2), плоскость (п = 3), гиперплоскость (п^ 4) в вещественном пространстве Еп, поэтому решить (8.1.1) — значит найти точку хеЕп их пересечения. Например (рис. 8.1):
1) 2хх=3;
2) дг1+х2=1;
х1—х2 = и
3) х1+х2+х3 = \,
2х1 +х2 = 1
х2 “Ь х2 = 0,8.
На рис. 8.1, 3) показана первая плоскость и на ней следы двух других плоскостей.
Прежде чем оценивать погрешность решения (8.1.1), оценим погрешность операции умножения матрицы на вектор:
у = Лх. (8.1.3)
Будем предполагать, что матрица А задана точно, а вектор х—с погрешностью Ах такой, что
