Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
<(310)-х, или в относительных погрешностях
||А^1||<1 \\АА2\\< 1 _ 1
Mill II ^2II ЗЮ-3,1 961
Естественно задать вопрос: что делать, если величина v(l—а)-1
II A* II
столь велика, что погрешность -—— не удовлетворяет заданной
II х II
точности вычислений? В этом случае необходимо обратиться к постановке той задачи, которая привела к решению такой системы линейных уравнений (малые погрешности исходных данных могут приводить к неприемлемо большим погрешностям в решении), учесть дополнительную информацию в задаче так, чтобы величина в правой части (8.1.12) стала приемлемой.
В гл. 6 мы, в принципе, так и поступали, когда предлагали заменить в алгоритме среднеквадратичного приближения семейство полиномов {л:1} полиномами Чебышева {Т^х)}.
306 \
V.
Если матрица А и вектор Ъ определяются из экспериментальных данных, то оценка (8.1.12), возможно, станет приемлемой, если провести измерения с более высокой точностью.
Заметим, что в приведенных выше оценках погрешности не учитывались ни погрешности метода решения системы, ни погрешности вычислительного процесса по выбранному методу.
Фактически это оценки погрешности математической модели, описываемой системой (8.1.2).
8.1.3. Оценка погрешности определения собственных значений и собственных векторов. Пусть задача определения собственных значений и собственных векторов вещественной матрицы А решается в том случае, когда матрица А задается с погрешностью АА. Оценим погрешность собственных значений и собственных векторов через погрешность АА.
Пусть матрица А имеет различные собственные значения Х1? Х2, и соответствующие им собственные векторы е19 е2,...,еп.
Известно, что {е{}9 1</<л, образуют базис в Еп, а матрица Т, столбцами которой являются компоненты векторов е{
/*1,1 ... *«,1 \
Т=( ... , (8.1.13)
\*1.и ... *и,и /
приводит исходную матрицу А к диагональному виду, а именно
/К 0 \
<11а8(А.,) = ( \ \ = Т-1АТ.
\0 К У
Собственные значения и собственные векторы, соответствующие матрице А+АА, обозначим Х?-+ДХ4, е{ + Ае(9 1 Если приме-
нить к матрице А Л-А А преобразование Т9 то получим
Т~1(А +АА )Т=diag (А,,) + Т “ ?1 АА Г. (8.1.14)
Известно, что матрица Т~г(А+АА)Т имеет те же собственные
значения, что и (А + Д^4). Воспользовавшись критерием локализации
собственных значений (5.3.15), получим из (8.1.14) неравенство
|(А/+ДА1.)-с11аё(^)-(11а8(Г-1Д^Г)|< ? |[Т~1ААТ)и |, 1<1<л,
]= 1
или
|ДХ?| ^ || Т~1ААТ\\ ^ || Г-1 || || Т || || АА ||,
Здесь || || = || || 00. Обозначим число обусловленности V матрицы Т
у(Г)=||Г-1|| ИЛ-
Окончательно имеем оценку
|ДА,| <у(Г)|| АА ||, 1</<л, (8.1.15)
307
а)
Ь)
У
которая показывает, что абсолютная погрешность определения собственных чисел зависит от числа обусловленности матрицы Т преобразования А к диагональному виду.
Рис. 8.5
Заметим, что неравенство (8.1.15) получено только при пред-
положении существования различных собственных значений. Точных значений векторов е{ знать не обязательно.
Для произвольных матриц величина у(Т) может принимать большие значения, если имеются собственные векторы А, близкие к линейно зависимым (рис. 8.5, а). Для симметричных матриц А собственные векторы е{ образуют ортонормированный базис (рис. 8.5, Ь), и если (А+АА) также симметрична, то можно надеяться на хорошую устойчивость задачи определения собственных значений симметричных матриц относительно погрешностей, которые не нарушают симметричности матрицы.
Рассмотрим задачу определения поправок к собственным значениям и векторам симметричной матрицы А, связанных с погрешностью АА, как задачу возмущений (см. гл. 5). Для этого представим
где в—параметр возмущения, характеризующий погрешность, В— симметричная матрица. В этом случае собственные значения и векторы матрицы (А +еВ) есть функции от 8 вида
где ряды сходятся для достаточно малых 8 (при наличии различных собственных значений Х( матрицы А). Доказательство сходимости рядов выходит за рамки настоящей книги.
Теорема 8.3. Пусть вещественная симметричная матрица А имеет собственные значения Хь 1 и векторы ег Тогда,
если В—симметричная матрица, собственные значения
^(е), 1^/<л, и векторы е((е) матрицы (А+гВ) имеют при е->0
представление
Доказательство. Найдем главную часть поправки в (8.1.16), (8.1.17) к невозмущенным собственным значениям Х( и векторам е{ матрицы А, т. е. >-11), е\1]. Имеем
АА=гВ,
Х1-(е) = А,|- + еАЯ*+е2А,}2*+ ...; е1{г) = е{ + ге\1) + г2е \2)+ ...,
(8.1.16)
(8.1.17)
А.;(е)=А.,-+е(Вег, е,)+0(е2);
(8.1.18)
(8.1.19)
308
(А +е5)ег(в)=Х((?)е,(е),
\
' V. ?
или с учетом (8.1.16), (8.1.17)
(А + гВ) (е{ + ее 11} + О (в2)) = (А*++ О (в2)) х
х(е1 + ге\1) + 0(в2)), 1</ ^п.
Следуя общей идее методов возмущений, сравним коэффициенты при одинаковых степенях в.
При ?°
Ае1=Х[е[, 1
При в1
Ле11) + Ве1 = Х(е11) + Х11)е(, 1</ (8.1.20)
Умножим обе части последнего равенства скалярно на еь а также учтем, что векторы образуют ортонормированный базис, а матрица А — вещественная, симметричная. Находим
(Ае?\ е)+(Веь ег) = Х,((е!1), еО+М1^,-, <Д
(АеРКе,)^, Ае^ЦеГКе^,
