Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
имеет погрешность приближения интеграла О (hk + m), а именно
, , I=Qm,b+0{hk+m).
Доказательство следует из прямого сравнения соотношений
(7.4.8) и (7.4.10).
7.4.3. Применение программы А4А0. Изложенный выше подход к вычислению интеграла с удвоением числа частичных интервалов и уточнением реализован в программе А4А0; вычисления проводятся по формуле трапеций.
Пусть необходимо вычислить интеграл
| exp (sin х 2) (1х
3
с абсолютной точностью е=10-4. Программа может иметь следующий вид:
INTEGER N,1 REAL A,B,E,Y,W(10)
EXTERNAL F
DATA A,B,E,/3.,4., l.E—4/,N/10/
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ А4А0
CALL A4A0(A,B,E,N,F,Y,I,W)
С ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ
WRITE (5,1) Y,I 1 FORMAT (2X,'Y=',E13.6,'I = ',I2)
END
С ВНЕШНЯЯ ФУНКЦИЯ—ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ
С ФУНКЦИЯ
FUNCTION F(X)
F=ЕХР(—SIN (X * X))
RETURN END
292 \
V.
• 7.5. Формулы Гаусса
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, рассмотренные выше, применяются для интегрирования функций f(x) невысокой степени гладкости, для первых двух f(x)eC2[a, b\ Причем в составных формулах обнаруживается следующий общий дефект: при увеличении числа узлов, в которых вычисляется f{x\ для функций высокой степени гладкости (f (x)eCk[a, b], к>2) не повышается точность с ростом к. Например, для погрешности формулы трапеций из (7.3.3) можно получить оценку снизу
\i-Ql\>^r 111111 !/"(*) I^2’
a^x^b
которая показывает, что при уменьшении шага h (увеличение числа узлов) и бесконечно дифференцируемых функций погрешность все-таки определяется второй производной f(x).
Указанный дефект называется явлением насыщения численного метода и встречается не только в задачах численного интегрирования.
Формулы Гаусса, которые будут ниже определены, являются: 1) квадратурными формулами без насыщения; 2) точными на полиномах максимальной степени 2т +1 с узлами
Следует отметить, что достоинства формул Гаусса проявляются только при интегрировании функций достаточно высокой степени гладкости.
Для определения формул Гаусса необходимо ввести понятие полинома Лежандра степени т.
7.5.1. Полиномы Лежандра. В гл. 6 было показано, что полином со старшим коэффициентом, равным единице, наименее уклоняющимся от нуля на интервале [—1,1] в равномерной норме, является полиномом Чебышева.
Определим полином Рт(х) со старшим коэффициентом, равным единице, наименее уклоняющийся от нуля на интервале [—1, 1] в среднеквадратичной норме. Это и будет,полином Лежандра 1т{х).
Для определения коэффициентов 1т(х)
Цх)=а0+а1х+...+ат-1хт-1+хт
чисел (а0, аи ..., ат_1) требуется найти минимум 1
S= J [a0, + alx+... + am_1xm~1+xm]2dx -1
по всевозможным значениям аь O^i^m— 1. В точке минимума необходимо
что эквивалентно соотношению 1
J xllm(x)dx = 0, 1,
293
т. е. полином Лежандра 1т{х) ортогонален любому многочлену степени т— 1. Приведем формулы 1т(х) для 0<т^4:
/<>(*)= 1,
/1 (х) = д:,
их корни просты, вещественны и расположены на интервале [—1, 1].
7.5.2. Квадратурная формула Гаусса. Сформулируем задачу, которую решает квадратурная формула Гаусса.
Требуется для заданного числа узлов, а именно (т+1)-го, найти такие узлы и соответствующие веса #/? чтобы
квадратурная формула
была точной СЯ = 0) для всех полиномов степени 2т+\. Теорема 7.6. Не существует таких узлов ^ и весов
чтобы формула (7.5.1) была точной для любого Р2т+2{х)• Доказательство. Предположим противное, т. е. существование ?і? для любого Р2т+2 (^) таких, что Л = 0. Выберем для проверки полином (2т + 2)-й степени следующего вида:
следовательно, для этого полинома ЯфО. Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 7.6 устанавливает тот важный факт, что квадратурной формулы, точной на полиномах ?2т+2(4 не существует, а следовательно, формула Гаусса должна быть точной на полиномах максимально возможной степени.
М*) = з(3*2-1),
М*)Ц(5*3-Зх),
/4(х)=^(35х4-30х2 + 3).
Полиномы Лежандра функций на интервале [-
ортогональную систему
I 1т{х)1п{х)йх = 0, тфп\
-і
т
• | /(.х)йх= ? ?г/(^)+Л
(7.5.1)
-1
Р2т+2{х) = {х-^о)2{х-\і)2-{Х-^т)2-
Тогда
т
I Р2т + 2(Х)С1Х>0, ? ЯіРгт + і{%і) = Ь
і - О
294
\
V.
Построим формулу Гаусса следующим образом. Будем определять веса qi в соответствии с (7.1.8):
1
-1
где ^—пока произвольные, различные узлы на интервале [—1, 1]. Тогда квадратурная формула (7.5.1) будет точной, по крайней мере на полиномах степени т.
Если теперь взять в качестве узлов ^ нули полиномов Лежандра
1т+ЛХ)
Ап+1&) = 0,
то по ним можно вычислить веса </* в соответствии с (7.5.2). Затем по можно определить формулу (7.5.1). Справедлива
следующая теорема Гаусса.
Теорема 7.7. Если в качестве узлов взяты
нули полинома Лежандра /ш+1(л:), веса вычислены по формуле
(7.5.2), то квадратурная формула (7.5.1) точна для полиномов степени 2т+1.
Доказательство. Представим произвольный полином ^2»+1Н в виде
Р2т-и(х)=Рт(х)1т+1(х) + Рт(х), (7.5.3)
где Рт(х)9 Рт{х)— полиномы степени т. Подставим (7.5.3) в левую часть (7.5.1); получим
1 1
I Р2т+ЛХ)с1х= I Рт(Х)1п,+ Лх)^х +
-1 -1
+ I Рт{х)(1х= $ Рт(Х)^х (7.5.4)
-1 -1
в силу ортогональности полинома 1т+ х(х) любому полиному степени т. Подставляя (7.5.3) в правую часть (7.5.1), имеем
