Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
т т
Е ?!Л.+1(У= I <11(РЛУт+ЛЪ)+
( = 0 1 = 0
_ т _
+ РМ) + Л= Е *Л&) + Л (7-5.5)
1 = 0
в силу выбора узлов Таким образом, приравнивая (7.5.4) и (7.5.5), находим, что формула (7.5.1) эквивалентна формуле 1 _ т —
\ Рт(х)ёх= Е <7.^)+*. (7.5.6)
-1 г = о
Но если ^ выбраны согласно (7.5.2), то формула (7.5.6) точна Для любого полинома Рт{х) степени т; следовательно, Л = 0, что и требовалось доказать.
295
Можно показать, что корни полиномов Лежандра расположены симметрично относительно нуля, соответствующие веса совпадают, все веса положительны. Приведем значения с тремя знаками для нескольких т узлов ^ и весов q{ формул Гаусса: т = 0 (?о = 0, ?о = 2);
т = 1 (?о=-0,577, *о = 1.000), (^=0,577,00 = 1,000); m = 2 (^о=-0,775, 0о=О,555), (^ = 0,000, 0,889),
($2 =0,775, 0о=О,555); т = 3 (§о= -0,861, 0О=0,348), = -0,340, q, =0,652),
(§2=0,340, 02=0,652), (^з=0,861, 03=0,348).
Например, квадратурная формула Гаусса по четырем узлам запишется следующим образом:
1
f/(jc)<fa = 0,348(/*(-0,861) + /(0,861)) + 0,652(/(-0,340)+/(0,340)) + J?.
-1 »
7.5.3 Оценка погрешности формулы Гаусса. Пусть используется квадратурная формула Гаусса с узлами 0 < /< w. Будем предполагать, что подынтегральная функция f(x)eC2(m+1) на интервале [—1, 1]. Тогда можно показать, что погрешность R(m, /) (7.5.1) имеет вид
R(m f)= 22~ 1 .f2(m+1>(?) (7 5 7)
[2(/и+1)!]3 [2(/n+l)+1] 1 '
где —1<?^1. Выражение (7.5.7), так же как аналогичные соотношения для простейших и составных квадратурных формул, имеет в основном теоретическое значение.
На практике Широко применяется сравнение результатов вычислений на нескольких семействах узлов. Произвольный интервал интегрирования [а, b] разбивается шагом h на п частичных интервалов [хь *г+1], O^i^n— 1. Каждый из частичных интервалов заменой независимого переменного сводится к интервалу [—1, 1], затем производится вычисление по квадратурной формуле (7.5.1) с т+1 узлами. Результаты суммируются. Это алгоритм составной квадратурной формулы Гаусса.
Варьируя параметрами т, пи сравнивая результаты вычислений, можно оценить погрешность составной квадратурной формулы Г аусса.
7.5.4. Применение программы А4А1. В программе А4А1 реализован алгоритм составной квадратурной формулы Гаусса со значением т = 9 и перебором по п от 1 до 10. Производится контроль заданной абсолютной и относительной точности вычисления интеграла. Пусть необходимо вычислить интеграл
з
j sin (е—*2) dx
о
с абсолютной точностью 10“5 и относительной 10“4. Программа может иметь следующий вид:
296 \
V. '
REAL A,B,E,D,Y,E1 EXTERNAL F
DATA A,B,E,D/0.,3.,1.E—5,1.E—4/
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ А4А1
CALL А4А1 (F, А, В, Е, D, Y, El)
С ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ
WRITE (5,1) Y,E1 1 FORMAT (2X,'Y=',E13.6,'E1 =',E13.6)
END
С ВНЕШНЯЯ ФУНКЦИЯ-ПОДПРОГРАММА
FUNCTION F(X)
F=SIN (EXP(—(X * X)))
RETURN
END
n
ф 7.6. Интегрирование функций двух переменных
При численном интегрировании функций двух переменных /(х, у) по некоторым областям В часто применяются квадратурные формулы, которые получаются комбинацией одномерных квадратурных формул.
7.6.1 Формула Гаусса для квадрата. Рассмотрим интегрирование /(х, у) по областям И:
? = {-1<х^1, (7.6.1)
Произвольный прямоугольник заменой х, у сле-
дует привести к стандартному квадрату (7.6.1). Возьмем по переменной х узлы ^ и соответствующие веса #*, квадратурной формулы Гаусса одной переменной, по у—узлы и соответствующие веса Гу, На рис. 7.13 показан вариант
т = 3, п = 2. Составим квадратурную формулу
6m,»= Z лj)
i,j= о
и представим интеграл от /(х, у) по области D в виде j J' f(x, y)dxdy=Qmin + Rmi„(f),
-1 “I
где погрешность R зависит от т, п и свойств гладкости /(х, у) по переменным X, у.
Заметим, что квадратурная формула (7.6.2) является точной на полиномах от двух переменных:
2т+ 1, 2и+ 1
P2m^l,2n+l{x,y)= ?
(7.6.2)
(7.6.3/
l.j = О
(7.6.4)
1
-1 1 X
-1
Рис. 7.13
297
Отмеченный факт является следствием теоремы 7.7. Для примера, изображенного на рис. 7.13, это полиномы
^7.5 (*> j0 = «o,o + «i,o*+a2,o*2+a3,o*3 + -- + fl7,o*7 +
+а0лу+а1лху+а2лх1у+аълхгу+...+а1лх1у+
+ +
+ «0,5j5+«iai*J;5+tf2,5*V+a3,5*V + -”+a7,5*V
Теорема 7.8. Пусть подынтегральная функция f{x,y) аппро-ксимируется полиномом (7.6.4) и выполняется неравенство
, max \f{x, j)-P2m+1.2n+1(x, j)|^e.
-1 + 1
Тогда погрешность формулы (7.6.2) на этой функции имеет оценку
I *„..(/) К«®- (7-6.5)
Доказательство. Действительно, представим из (7.6.3)
Rm,n{f) В виде
1 1
Rm,n{f)— I I (/— P2m+l,2n+l + Plm+ 1,2п+ l)dxdy —
-1 -1
т,п
- Z WAffe, ^)--P2«+1.2»+l(§0 Лу)+^2«+1.2.+ 1(^. Лу))-
ij = О
Отсюда
|Ли;„(/)1< } J \f~P2m+U2n+l\dxdy +
-1 "I
m,n m,n
+ Z ^Ol/-'P2m+i,2»+iK4e+e Z
i, j-0 i,j= 0
Формула (7.6.2) точна на константах, поэтому
1 1 т,п
| J dxdy= Z ^.0 = 4’
-1 -1 i,;' = 0
следовательно, учитывая последнее неравенство, получаем (7.6.5), что и требовалось доказать.
7.6.2. Область со сложной границей. Рассмотрим задачу численного интегрирования /(л:, у) по области D:
