Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 91

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 168 >> Следующая

7.1.3. Точные квадратурные формулы. Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностью
я = о
сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называются точными.
Запишем тЬчные квадратурные формулы для полиномов степени т, т. е. для
Рт{х) = а0 + а1х+... + атхт
на интервале [а, Ь\ Определим на [а, 6] произвольные попарно различные узлы Найдем веса такие, что
Ъ т
\Рш{х)Лх=^Ч1РяЫ (7.1.7)
а 1 = 0
Перепишем Рт(х) В' виде интерполяционного полинома:
Р (г\= у р /* \ (х-^о)^(х-^-1){х-^+1)...(х-^т)
Условие (7.1.7) приводит к следующим значениям для весов
ъ
<1х. (7.1.8)
Итак, если взять произвольные различные узлы ^ на [<а, 6], вычислить значения весов по формулам (7.1.8), то для любого полинома степени т квадратурная формула
т
{2= I ъРшЫ
1 = 0
является точной, т. е. справедливо соотношение (7.1.7).
Может оказаться, что формула (7.1.7) точна для полиномов степени, большей чем т. Это произойдет, если специальным образом на интервале [а, 6] выбирать узлы Соответствующие квадратурные формулы построены Гауссом (см. 7.5). Можно так расположить узлы что квадратурная формула Гаусса
будет точна для полиномов степени 2т+1.
278 Ч'-
V.
Очевидно, что применение точных квадратурных формул для интегрирования полиномов не имеет смысла, так как для них легко находится первообразная Лп+1(*) и интеграл
1=Рт-и(Ь)-Рт+1(а)
определяется вычислением полинома Рт+\{х) в точках а и /;.
Практический смысл точных квадратурных формул проявляется при интегрировании таких классов функций /(*), которые могут быть хорошо аппроксимированы полиномами на интервале [а,
Ь]. Тогда, применяя такую формулу к /(х), есть надежда получить малую погрешность Л в (7.1.6) для рассматриваемого класса функций.
# 7.2. Простейшие квадратурные формулы
Приведем квадратурные формулы для одного интервала [х(9 х( + 1], которые затем обобщаются на весь интервал [я, Л] в виде составных квадратурных формул (см. 7.3).
7.2.1. Формула прямоугольников. Пусть рассматривается интервал [—Л/2, Л/2], где Л>0 (рис. 7.2). Предположим, что подынтегральная функция /(х) дважды непрерывно дифференцируема на [ — Л/2, Л/2], т. е. /(х)еС2 [—Л/2, Л/2]. Запишем соотношение
(7.1.6) в виде
й/2
I /(*)<&=А-/(0)+Л, (7.2.1)
-Й/2
где взят один узел ^ = 0, соответствующий вес #=Л. Получаемая квадратурная формула
6=А/(0) (7.2.2)
называется формулой прямоугольников для одного шага.
Название оправдывается тем, что (7.2.2) является (для /(0)>0) формулой для площади прямоугольника с высотой /(0) и основанием Л.
Из рис. 7.2 можно заметить, что если интервал Л достаточно мал, а функция ф(х)—гладкая (мы уже потребовали, чтобы /{х)е С2 [—Л/2,
Л/2], то погрешность Л будет стремиться к нулю при Л->0. Точный результат докажем в следующей теореме.
Теорема 7.1. Пусть 1{х)е еС2[ — Л/2, Л/2]. Тогда погрешность квадратурной формулы прямоугольников Я (Л, /) имеет вид
Я(А, /)=?/'(& (7-2.3)
279
где Е,—некоторая точка интервала [ — /г/2, 2].
Доказательство. Перепишем левую часть (7.2.1) в виде
й/2 й/2 й/2 /,\ / ,\
/ /(*)<&= 1 /(лг)йЬс— I (7.2.4)
л:
Здесь функция ^(х) определяется формулой /г(х) = |/(5)сЬ. Заметим, что Г(0) = 0, Р'(0)=/(0), Р"(0)=/'(0), Р"'(х)=Г(х).
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
запишем
^(^)^^(о)+г(о)^+1г'.(о)(^)2+1г"(^)(^)3; (7-2.5)
(0)|+|^'(0)(5а)(|)Э, (7.2.6)
где 0<^</2/2, — А/2<^2^0* Подставив (7.2.5) и (7.2.6) в (7.2.4), получим 1
7/(х)Ох=А/(0)+^Г(^Г(^ (7-2.7)
Поскольку /"(х) непрерывна на интервале [ — /г/2, Л/2], существует точка ^е[—Л/2, Л/2] такая, что --*1 ^ =/" (^). Теперь, срав-
нивая (7.2.7) и (7.2.1), имеем (7.2.3), что и требовалось доказать.
Квадратурная формула прямоугольников (7.2.2) является точной для полиномов первой степени Р1(х) = а0 + а1х. Действительно,
й/2
| (а0 + а1х)с!х = а01г.
-й/2
Иногда на интервале [ — Л/2, Л/2] применяют формулы прямоугольников вида () = !г/( — 11/2) или 2 = Л/(Л/2). Нетрудно заметить, что эти формулы точны только для полиномов нулевой степени, т. е. констант.
7.2.2. Формула трапеций. Пусть [О, Л], Л>0 (рис. 7.3),— рассматриваемый интервал.
Предположим, что /(х)еС2[0, А]. Запишем соотношение
(7.1.6) в виде
}/(х)<&=й/(0)У(*) + Л, (7.2.8)
О
где взяты два узла ^о = 0, ^Х=А и соответствующие веса </о = #1 = Л/2. Получаемая квадратурная формула
(7.2.9)
называется формулой трапеций для одного шага. Название связано с тем фактом, что (7.2.9) при положительных /(0), /(А) является формулой для площади трапеции с основаниями /(0), /(А) и высотой А.
Приведем без доказательства утверждение об оценке погрешности К в (7.2.8).
Теорема 7.2. Пусть /(х)е еС2[ 0, Л]. Тогда погрешность Рис. 7.3
квадратурной формулы трапеций Л (А, /) имеет вид
*(*,/)=(7-2-10)
где ^—некоторая точка интервала [0, А].
Так же как формула прямоугольников, квадратурная формула трапеций (7.2.9) точна для полиномов первой степени.
7.2.3. Формула Симпсона. Пусть [—А, А], А>0 (рис. 7.4),— рассматриваемый интервал. Предположим, что /(х)еС4[ — А, А]. Запишем соотношение (7.1.6) в виде
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed