Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Уменьшить погрешность можно, во-первых, за счет специального распределения узлов интерполяции Xj на интервале [jc0, хя], если есть возможность выбирать узлы. Ниже будет показано, как следует располагать узлы для интерполяции полиномами.
Во-вторых, можно заменить критерий выбора из класса функций, а именно искать элемент наилучшего приближения, т. е. доставляющий
min \\f{x)-g[x, а) ||.
а
В этом пункте рассматривается равномерная норма.
Другими словами, интерполяция состоит в требовании совпадения f(x) и g(x, а) в заданных узлах xj9 погрешность аппроксимации такая — «какая получится»; поиск элемента наилучшего приближения состоит в минимизации погрешности аппроксимации, совпадение f(x) и g(x, а) в некоторых точках такое — «какое получится».
Важную роль в теории равномерного приближения играют полиномы Чебышева. Рассмотрим их основные свойства.
6.4.1. Полиномы Чебышева. Определим полиномы Чебышева исходя из тригонометрических функций cosw0, п = 0, 1, 2, .... Примем в качестве
0 = arccosx, — 1 1.
Обозначим
Тп (х) = cos (п arccos х). (6.4.1)
Покажем, что Тп[х)— полином от *, т. е. полином Чебышева. Действительно, по формулам Муавра и бинома Ньютона имеем
п
cosw0 + /sinw0 = (cos0 + /sin0)"= ? C„cosn~kQik sinfc0.
к —О
Отсюда, приравняв действительные части, получим
[«/2]
cosw0= Y, C«zcos"“2Z0/2*sin2*0.
1 = 0
261
Заменим
sin2 0 = (1 — cos2 0).
Окончательно имеем
[п/2]
cos л 0 = ? C2lcosn~2lQi21 (1—cos20)*. (6.4.2)
1 = 0
Из (6.4.2) следует, что cosnQ—полином степени п ОТ COS0, но cos (arccos х) = х. Поэтому
[п/2]
1 Тп(х) = cos{пarccosлт) = С21хп~21(х2~1)1
,1
—полином п-й степени от л:, —
Связь полиномов Чебышева и тригонометрических функций приводит к соотношениям ортогональности полиномов Чебышева на непрерывном интервале и дискретном множестве точек:
+ 1 я
Г dx С 0 ,тфп,
Тт(х)Тп(х) _=_= cosm0cosw0^0= < п/2,т = пФ0, (6.4.3) J J 1-х2 J I я, т = п = 0;
-1 о ^
N-1 лг-1 Г о, тфп,
? Гт(д:;.)Г„(д:7.)= ? cosm0,.cosп0,- = < N/2,m = n^0, (6.4.4)
;=о 7=о N, т = п = 0,
здесь Xj=cosQp Qj = TZj/N, 0</<N-l.
Из (6.4.3) следует, что полиномы Чебышева ортогональны на интервале [—1, 1] с весовой функцией
ифс) = -
:1
л/1—*2
Известна замечательная роль ортогональных систем функций, в частности тригонометрических, для представления функций рядами Фурье.
Ортогональные полиномы, в частности полиномы Чебышева, § обладают рядом дополнительных свойств: они удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению, их легко ВЫЧИСЛЯТЬ 4 и преобразовывать с их помощью степенные ряды. *
Трехчленное рекуррентное соотношение ?
. Тп+1 (х) + Тп-! (х) = 2хТя(х), л^1, (6.4.5) |
I
является следствием тождества I
?
со$(и+1) Э+сов {п — 1)0 = 2со8 0сов л0. ;
Из (6.4.5) можно последовательно определять Т„(х), 2, Т0(х) = 1;
т1(х)=х; Т2(х) = 2х2 — 1; Г3(л;) = 4х3-Зх; Г4 (*) = 8х4 - 8х2 +1; Т5(х)= '
= 16х5—20х3 + 5*; Т6(х)=32х6—48х4+18л:2 — 1; ...
262 Ч-
V. ?
У' 'Т0(х) У' ' Т,(х)
1
Г* Л
УI т,(х)
"1*5 (Х)
ъ
Графики полиномов Г0(х)-Г5(х) на интервале [—1, 1] приведены на рис. 6.6.
Можно выразить
степени переменной
х в виде линейных комбинаций полиномов Чебышева
1 [«/2]
xn = zp~[Yj СпТп-2к{х)-
z к = О
(6.4.6)
Отсюда для первых степеней получаем:
1 = Т0(х); х=Т1(х); х2=~(Т2(х)+Т0(х))-,
л3=^(Г,(л)+ЗГ1(л)); .х4='(Г4(х)+4Г2(х)+ЗГ0(х));...
Используя соотношение (6.4.6), полином
Рп (х) = а0+а1х+... + апхп
можно выразить через полиномы Чебышева (разложить по Г„(х)). Например, Р2(х)=\—2х + Зх2 имеет вид
Р2(х)=Т0-2Т1+3-(Т2 + Т0)=5-Т0(х)-2Т1(х) + 3-Т2 (х).
Определим нули и точки экстремумов Тп(х) на интервале [—1, 1]. Нули Тп(х) определяются из уравнения
cos (п arccos х) = 0.
Отсюда
п arccos х = п/2 + кп, xk = cos^22и+1^), ^ = 0> •••>
Точки экстремума Ги(х) определяются из уравнения
Отсюда
cos (п arccos х) = ± 1. п arccos х = п т, п m
xm = cos—, m = 0, 1, ..., п.
Итак, Тп(х) на интервале [—1, 1] имеет п вещественных нулей и л+1 точку экстремума, при этом экстремальные значения, равные +1, чередуются. На оси х эти точки получаются проекцией
263
Рис. 6.7
пересечения полукруга с множеством прямых, имеющих между собой равные углы. На рис. 6.7 представлен вариант п = 4, знаком * обозначены нули Г4(х), знаком 0—точки экстремума.
Заметим, что старший коэффициент (при х”) у полинома Тп(х) равен 2я-1.
6.4.2. Теорема Чебышева. Из всех полиномов Рп(х) п-й степени со старшим коэффициентом, равным единице, у полинома
?л ,
ЗД = ^гтЗД
максимальное* абсолютное значение на интервале [ — 1, 1 ] наименьшее, т. е.
тах \Рп{х)\> тах | Тп(х)\=^. Доказательство. Предположим противное:
(6.4.7)
Рассмотрим полином (п— 1)-й степени
л„_1(х)=лм-ад.
В силу (6.4.7) в точках экстремума Тп(х)—хт, т = 0, 1, ..., п, полином принимает поочередно разные знаки. Следова-
тельно, между соседними точками хт полином ?„-i(x) имеет по крайней мере один нуль, а их общее число равно п, что невозможно для полинома (п— 1)-й степени. Противоречие доказывает утверждение теоремы.
Другими словами говорят, что полиномы Чебышева Тп{х)— наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на интервале
