Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 87

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 168 >> Следующая

[-1, П.
Теперь очевидным образом решается следующая задача: пусть f{x) = 0, — l^x^l. Найти полином фиксированной п-й степени
g(x, а) = Рп(х) = а0 + а1х+... + ап-1хп~1+хп
наилучшего равномерного приближения к /(х), т. е. доставляющий
min max |Pw(x)|.
a _
Теорема Чебышева сразу дает ответ: это полином Тп(х).
Для произвольных непрерывных f(x) неизвестны формулы для полинома наилучшего равномерного приближения. Для некоторых классов функций, например рациональных, соответствующие формулы можно найти в [2].
264 ^
V,
Рис. 6.8
Рис. 6.9 -
Произвольный интервал [а, Ъ ] линейной заменой
2 х—(Ь+а) ,
х, =—--------, а^х^Ь,
о —а
приводится к интервалу — Kx^l, где затем и решается задача равномерного приближения.
Важным критерием, устанавливающим свойство полинома наилучшего равномерного приближения, является критерий Чебышева. Сформулируем его без доказательства.
Критерий Чебышева. Для того чтобы полином Рп (х) был полиномом наилучшего равномерного приближения к непрерывной функции f(x), a^x^b, необходимо и достаточно существование на [а, Ь] по крайней мере п + 2 точек х0, хи ..., xn+i таких, что
f{x^-Pn{x^= ±(-1 у \\f(x)-Pn(x) ||. (6.4.8)
Точки хь в которых выполняется (6.4.8), называются точками чебышевского альтерната.
Пример 1. Для любого п
Рп(х) = а0+а1х+... + апхп
наименее уклоняющимся от нуля на [я, Ъ ] полиномом является Р„(х) = 0 (нет ограничения ап= 1).
Пример 2. Для п = 0 полином Р0(х) = а0 наилучшего равномерного приближения к непрерывной f(x) есть
Л>(*) = —т—. т= min /(*)> М= тах/(х).
1 а^х^Ь а^х^Ь
Точки чебышевского йльтернанса отмечены на рис. 6.8.
Пример 3. Для п= 1 полином Рх (х) = а0 + а1х наилучшего приближения к непрерывно дифференцируемой выпуклой на [а, Ъ ] функции f(x) строится согласно рис. 6.9. Это прямая, параллельная хорде, соединяющей f(a) и f(b), которая делит пополам расстояние между этой хордой и касательной к Дх), параллельной хорде.
6.4.3. Минимизация оценки погрешности интерполяции за счет выбора узлов. Рассмотрим интерполяцию функции f(x) на интервале [— 1, 1]. Согласно формуле (6.2.4) имеем
Дх) = Р„(х) +f(n+]f + 1 (*)>
265
где ? = ?(*), х принадлежит интервалу [—1, 1]. Отсюда оценка погрешности интерполяции следующая:
max \f(x)-Л,(*)КгГГ» max l/("+1)(x)l max I©«+1 (?*)!•
Заметим, что полином cow+i(x) имеет старший коэффициент при хп+19 равный 1. Из теоремы Чебышева вытекает, что
max |со„+1(х)|>?.
Если взять э качестве узлов интерполяции нули полиномов Чебышева Тп+1(х)
**=coS"|^p к=0, 1, п,
то полином k
«>»+1 W=^.+i W
и оценка погрешности интерполяции будет минимальной, а именно max |/(х)-Рв(х)|< * max |/<я+1)(х)|.
Z Г+1)1 - Ux^l
Таким образом, получаем следующую практическую рекомендацию: если интерполяция может выполняться с произвольным
выбором узлов на интервале [—1, 1], то целесообразно в качестве узлов выбрать нули полиномов Чебышева.
6.4.4. Экономизация степенных разложений. Многие вычисления основаны на использовании степенных разложений функций f(x)
00
/(*)= ? {вА.9)
к = О
При этом бесконечный ряд (6.4.9) заменяется конечной п-й
частичной суммой:
/(*)- ? akXk = S„(x). (6.4.10)
к —О
Пусть ряд сходится на интервале — 1<х^1. Замена (6.4.9) на
(6.4.10) приводит к погрешности. Частичная сумма ?„(.*) приближает f{x) на интервале [—1,1] с точностью в, если
max \f(x) -Sn(x)|<5<e.
Пусть существуют точки л:* на интервале [—1,1] такие, что (п— 1)-я частичная сумма Sn-1 не приближает f(x) в этих точках С ТОЧНОСТЬЮ 8, т. е.
|/(*.)-S„-i(x,)|>e.
Можно поставить следующий вопрос: есть ли полином (п— 1)-й степени Р„-1(х:) такой, чтобы он приближал f(x) с точностью 8, и как его построить? Ответ дает следующее утверждение.
Теорема 6.6. Пусть выполняется неравенство
5+iM<s. (6.4.11)
Тогда существует полином Pn-i(*)> аппроксимирующий f(x) с точ-
ностью в:
max \f(x) — /*„_ 1 (л;) | < в, (6.4.12)
может быть представлен формулой
(6.4.13)
Доказательство. Представим разность /(*)—Рп-1(х) в виде
/(*)-pn-i(x)=(f(x) - Sn (х))+(S„ (х)-Л,-! (х)).
Из (6.4.13) получаем
f(x)-Pn-1 (*) = (f(x) - s„ (х))+ап.
Отсюда и из (6.4.11) получаем цепочку неравенств
max !/(*)-?„_! (*)|< max |/(x)-S;(x)|+^ <5+^<е,
т. е. полином (6.4.13) (п— 1)-й степени удовлетворяет неравенству (6.4.12), что и требовалось доказать.
Процесс перехода от аппроксимации f(x) полиномом п-й степени к аппроксимации полиномом (п— 1)-й степени с сохранением точности равномерного приближения называется процессом экономизации степенного разложения. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока выполняются условия типа (6.4.11).
Для примера найдем полином наименьшей степени, аппроксимирующий sin л:, — l^x^l, с точностью в=10_3. Имеем ряд
Маклорена
X3 JC5
sinx = x-—+—+....
Погрешность *S5 (л:) не больше максимума модуля первого отброшенного слагаемого (так как ряд знакопеременный):
|sinx-^x-^+^K^<2-10~4.
Проверим условие (6.4.11):
2 ? Ю-4+^-^=7 • 2 • 1(Г4< 10_3.
Находим
#6.5. Среднеквадратичные приближения
Здесь рассмотрим приложение широко распространенного метода вычислений — метода наименьших квадратов — в теории приближений.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed