Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Отличительной чертой вариационного метода является более слабые требования к гладкости решения. Функционал 1{и) в примерах определен на функциях, имеющих первые производные, квадратично интегрируемые в области D. Таким образом, принадлежность и(х, у)еС2 [D ] не требуется. Это важно в тех задачах, где граница D имеет угловые точки (например, прямоугольник) и, как правило, вторые производные решения в углах разрывны.
11.1.4. Дискретизация Ритца. Перенесем дискретизацию непрерывной зададля уравнения (11.1.3) с условием (11.1.2) на эквивалентную вариационную задачу
‘ . min/(и), (11.1.4)
меЯ
где Н—пространство функций и(х, у), заданных на области Д для которых определен функционал 1{и). Будем предполагать, что решение (11.1.4) и(х, у) существует, и(х,у)еН; если и(х, у)е С2 [D ], то это решение дифференциального уравнения (11.1.3) с условием (11.1.2). В том случае, когда решение (11.1.4) и(х, у) не принадлежит C2[D ], его называют слабым решением исходной краевой задачи.
Пусть функции et(x, у)
{^15 ^2 > ••• ? ^т'> }
образуют базис "пространства Я.
Метод дискретизации Ритца состоит в том, что вариационная задача (11.1.4) решается не на всем пространстве Я, а только на m-мерном подпространстве, состоящем из всевозможных линейных комбинаций элементов {еи е2, ет}, т. е. решение и(х, у) задачи (11.1.4) ищется в виде
т
Ц.= Е«Л. (11.1.5)
; = i
где ос,-, К / < го—неизвестные коэффициенты. При этом задача
(11.1.4) переходит в дискретную задачу
min/( ? ще{ I
а V= 1 /
минимизации функционала на множестве векторов а=(а15 ..., ат) размерности го. Необходимое условие минимума
^=0, Ui<m, (11.1.6)
dctt
дает т уравнений для определения ат. Если система уравнений (11.1.6) разрешима, то полученное решение а определяет ит по
420 ' -
формуле (11.1.5)—приближение к точному решению исходной задачи. Очевидно, что ит дает оценку точного минимального значения функционала
rnin/(w)^/(wm).
иеН
В полном пространстве Н точное решение (11.1.4) получается предельным переходом
и = lim ит.
т-> оо
Для примера рассмотрим нелинейную краевую задачу д и д2и / vj
в области ?>={0^х^:1, 0^7^ 1} с условием м(Г) = 0. Соответствующий функционал
Л»)-л
/ ди\2 / ди \дх)
dxdy.
Дискретизацию по методу Рйтца проведем с помощью тригонометрического базиса. Ищем решение в виде
ит{х>у)= ^ Ыр^тркхътдку. (11.1.7)
Р,Ч= 1
Для иллюстрации ограничимся одним слагаемым
иг{х, <у) = а1Д8тял:8тя^.
Найдем коэффициент ос1Д из условия
11
шт/(а1 х)= 11 [а1дЯ2со82юс8т27гу +
«1.1 ’ 00
+ а2дЛ28т2яхсо82Я7 дзтлхзтт^ — I)4] dxdy =
9 .4 16 з ,/З я2\2 4 . 1
_25ба1Л_(3^а1Д+(2 + Т;а1’1_^а11+4-
Определим точку минимума, отбросив слагаемые выше 2-й степени а1Д. Получим
а1Х? 2,?3,15-10-2.
1,1 71 (3 + 71 )
Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения на функции иг(х, у) в точке *=1/2, 7=1/2 равна
8-^г + ^р--(щ-1)3= —3,15-10-2 - 2л2—(3,15 -10-2 —1)3^0,2.
421
Чтобы повысить точность аппроксимации уравнения внутри D, следует взять больше слагаемых в сумме (11.1.7). Но с ростом т увеличивается количество гармоник sin^^x, sinqny, участвующих в вычислениях интегралов, что в значительной степени затрудняет реализацию вариационного метода.
Отмеченного недостатка лишен специальный вариант метода дискретизации Ритца—метод конечных элементов.
Методом конечных элементов называют метод Ритца с выбором базисных кусочно-полиномиальных функций ех(х, у), отличных от нуля, в малой окрестности некоторых точек области D.
Точность приближения в методе конечных элементов повышается не за счет увеличения числа различных видов базисных функций (в призере—различных гармоник), а за счет уменьшения размера окрестности, где базисная функция отлична от нуля. Сам же вид базидной функции сохраняется. Здесь имеется полная аналогия со сйлщш-аппроксимацией функции (см. гл. 6). С методом конечных элементов можно познакомиться в [18].
В методе дискретизации Ритца существенную роль играет выбор базиса функций, учитывающих специфику задачи. Фактически хороший выбор связан с достаточно большой предварительной работой по учету симметрии области, построению собственных функций дифференциального оператора и т. д. Естественно, что такая работа затем должна окупиться на серийных вычислениях.
ф 11.2. Разностный метод решения стационарных уравнений
11.2.1. Стационарные уравнения. Уравнения с частными производными для функций и(х, у, z), зависящих только от пространственных координат, называются стационарными уравнениями. Такие уравнения могут иметь естественное происхождение и описывать не изменяющиеся во времени процессы различной природы. Примеры стационарных процессов и уравнений приведены в п. 5.3.19. Многие стационарные линейные уравнения имеют вид
div(p(x, q, z)grada(x, у, z))+q(x, у, z)u=f(x, у, z).
Это уравнение при р, q = const является уравнением Пуассона
Дм=/,
а при /= 0 — уравнением Лапласа
Аи = 0.
К стационарным уравнениям приходят и при решении нестационарных уравнений. Пусть например, в волновом уравнении
д2и 2 а г
-T-a2Au=f dt2 J
внешнее возмущение f(x,y,z,t) представляется в виде
