Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
%=-у, у(0)=/°\ 0^ь.
Коэффициент жесткости 5(х)=1 на всем интервале [0, Ь]. Но если привести заменой переменной хх=х/Ь эту задачу к нормированному интервалу то получим
?=-Ьу, 3'(0)=3'(О), 0<Х!<1,
при Ь^> 1 жесткое уравнение.
Отсюда целесообразно сделать следующий практический вывод: интегрирование задачи Коши на длинных интервалах может
399
привести к явлению жесткости, которое следует учитывать при выборе метода решения.
10.3.2. Неявные методы решения жестких уравнений. Покажем на примере, как неявная разностная схема (10.1.22) позволяет интегрировать жесткое уравнение с шагом Л, выбираемым по заданной точности, а не из соображений устойчивости. Рассмотрим задачу
?=-100^+100, у(0)=0, 0<х<1,
для которой схема (10.1.22) следующая:
^=^-1+М~ 100^+100), 1</^га, /2=1 /га.
Эта схема безусловно устойчива при Х<0, так как выполняется неравенство (10.1.26). Решение разностного уравнения
' ' Л=1~оттЩ”
указывает,, что точное решение }>(л;)= 1 — ехр(—ЮОх) будет аппроксимировано с желаемой точностью без ограничений на величину шага к. Например, при Л = 0,2 имеем:
Уо = 0, Л =0,952, =0,997, 0,999,
*(1) = 0, у(0,2) = 0,999, у (0,4) = 0,999, у(0,6) = 0,999;
наихудшую относительную точность представления решения на первом шаге (порядка 5%).
Общий подходок решению жестких уравнений состоит в использовании неявных методов (неявных разностных схем). Аналогом схемы (10.1.22) для нелинейного уравнения
является неявная схема Эйлера
У1=У1-1+Аъ,у1), (10.3.4)
которая на каждом шаге требует решения нелинейного уравнения
(10.3.4) относительно у{, что представляет, вообще говоря, не простую задачу. Эта задача еще более усложняется для системы нелинейных дифференциальных уравнений (см. гл. 9). Естественно, решение нелинейных уравнений связано с большими затратами машинного времени на каждом шаге, чем в явных методах. Но за счет возможности значительно увеличить шаг к общий объем вычислений в случае использования неявных методов может быть существенно меньше, чем явных.
10.3.3. Применение программы В6А1. Для иллюстрации применения программы В6А1 рассмотрим задачу Коши для жестких уравнений (10.3.3) на интервале 0<х<1. Зададим относительную
V
400
.V.
точность ?=10-3. Будем выводить на терминал значения >т (х), у2 (.v), у3(х) с шагом Я=0,05. Программа может иметь следующий вид:
REAL X,B,Y(3),E,W(3,21),R(3),Z(3,3)
INTEGER N,J,I,M,K EXTERNAL F,0,P DATA X,B/0., 1 ./,Y/1 .,0.,0./,Е/1 .E - 3/
DATA N,J,I,M,K/3,0,0,1,21/
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ В6А1
CALL B6A1(X,B,N,Y,E,J,F,M,P,0,W,K,I)
END
С ВНЕШНЯЯ ПОДПРОГРАММА, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ
С ПРАВЫЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЙ
SUBROUTINE F(X,Y,R)
REAL X,Y(3),R(3),A,B,C DATA А,В,С/0.04,1.Е4.3.Е7/
R(l)= —A*Y(1)+B*Y(2)*Y(3)
R(2)=A*Y(1) - B*Y(2)*Y(3) - C*Y(2)*Y(2)
R(3)=C*Y(2)*Y(2)
RETURN
END
С ВНЕШНЯЯ ПОДПРОГРАММА, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩАЯ
С ВЫВОД ЗНАЧЕНИЙ Y(X)
SUBROUTINE 0(X,Y)
REAL X,Y(3),H DATA Н/0.05/
WRITE (5,1) X,Y(1),Y(2),Y(3)
1 FORMAT (2X,'X=',F5.2,3E13.6)
X=X+H
RETURN
END
С ВНЕШНЯЯ ПОДПРОГРАММА, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ
С ЯКОБИАН
SUBROUTINE P(X,Y,Z)
REAL X,Y(3),Z,(3,3),A,B,C DATA A,B,C/0.04,l.E4,3.E7/
Z(l,l)=-A Z(1,2) = B*Y(3)
Z(1,3) = B*Y(2)
Z(2,1)=A
Z(2,2) = — B* Y (3)—C*Y (2)*2.
Z(2,3)= — B*Y(2)
Z(3,l)=0.
Z(3,2)=C*Y(2)*2.
Z(3,3)=0.
RETURN
END
401
• 10.4. Краевые задачи
10.4.1. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Разностная схема. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
Ф)^Р+ь(х)%+с(х)у=Ах) (10-4Л)
на интервале с условиями на краях интервала
*оУ («) + “!$(«)= “2.
(Ю.4.2)
,1 МЪ)+^?{Ь)=$2.
Будем предполагать, что функции а Ы, Ъ (л:), с (л:), /(л:) достаточно
гладкие на I [а, Ь\ а(х)фЬ на [а, 6], константы а,-, Р* таковы,
что аЗ + <Х1^0, Ро + Рх^О.
Прежде чем заниматься численным решением исходной краевой задачи, целесообразно привести дифференциальное уравнение к простейшей форме. Для этого разделим (10.4.1) на а(х). Получим
Т^+ЛЗГ+ТТ>-Т7 (10АЗ»
ах а(х)ах а(х) а(х)
Введем новую искомую функцию г(л;) с помощью замены
(10.4.4)
( 1 ГМ*)
/ = ехр —- -)-[с
V 2)а(*)
Тогда для 2 (х) из (10.4.3) имеем уравнение
^+д(х)г=г(х), (10.4.5)
где
,ц_ Ф) 1 (ь(х)У 1
ЧУ ' а{х) 4у«(х)} 20х(а{х)/
и краевые условия
а0г(а)+а1^(а)=а2,
р0г(й)+р1|(й)=р2
(10.4.6)
со значениями а„ р;, отличными от тех, которые заданы в (10.4.2). 402 \
.V.
Если интеграл
с1х
не берется аналитически, то тогда функция 1(х) может быть определена с помощью численного интегрирования (см. гл. 7). Мы же будем предполагать, что известна формула для /(х), а следовательно, краевая задача, которую необходимо решать,— это уравнение (10.4.5) с условиями (10.4.6).
Например, для частного случая краевых условий
г(а) = ос, г(й)=Р (10.4.7)
задача называется краевой задачей первого рода или задачей с закрепленными концами (рис. 10.9). Пусть функция ц(х) удовлетворяет неравенству
</(л:)^0, я^лг^б. (10.4.8)
Условие неположительности д (л;) обеспечивает существование и единственность решения некоторых краевых задач, в частности задачи с закрепленными концами. Справедливо следующее утверждение.
