Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1Д.З. Пусть для значений uik на множестве внутренних узлов выполняется неравенство
к
тогда на Dh "значения uik не могут иметь положительного максимума; если
то на Dh значения ui k не могут иметь отрицательного минимума, за исключением случая wik = const.
Доказательство. Допустим, что щкфconst и во всех внутренних узлах Lhuik^0. Предположим противное, т. е. что ui k достигает положительного максимума [/>0 в некотором внутреннем узле. Тогда можно найти такой внутренний узел (/*, &*), в котором иь к =U> 0 и хотя бы в одном соседнем с ним узле uik<U (это следует из допущения щ кфconst). Запишем
Lh щ*, к* = А-*, * * UU д * +1 + Bi*, fc* Uu -1 д * +
+ А., мг. +1, ** + “г. д „ -1 ^ °-
Из неравенств (11.2.6) следует, что замена значений иик в соседних
с /*, к* узлах на U приведет к строгому неравенству
U{AU,k^Bi^k^CU,k^Di*,k^EU,kJ>^ но из (11.2.7) следует
что противоречит условию gUk<0 в Dh. Следовательно, сделанное предположение неверно и первая часть теоремы доказана, вторая часть доказывается аналогично.
Упростим выражения в граничных узлах (11.2,.4), полагая 0 = 0, что соответствует переносу значения ф(д;, у) с непрерывной границы в узел Гй. Погрешность такой аппроксимации 0(h).
Теорема 11.4. Пусть 0 = 0, тогда система линейных уравнений
(11.2.5), (11.2.4) имеет единственное решение.
Доказательство. Теорема будет доказана, если показать,
что соответствующая система (11.2.5), (11.2.4) — однородная линей-
426 \
V,
ная система—имеет только нулевое решение (иик = 0). Однородная система получается из (11.2.5), (11.2.4), если положить
Л*=0> Фи=°-
Таким образом, получаем значения щк = 0 для граничных узлов из условия м1д = ф1д. Пусть хотя бы в одном внутреннем узле ии, К> ® (< 0)> но тогда по принципу максимума (теорема 11.3) максимальное положительное (или отрицательное минимальное) значение щк достигается на границе ГА, что невозможно, так как иик — 0 на границе ГА. Противоречие доказывает теорему.
В общем случае, когда в уравнениях (11.2.4) 0^0, также справедливо аналогичное утверждение.
Теорема 11.5. Система линейных уравнений (11.2.5), (11.2.4) имеет единственное решение.
Доказательство. Покажем, что однородная система (11.2.5),
(11.2.4) имеет только нулевое решение. Если хотя бы в одном внутреннем узле м^,к#>0 (<0), то, согласно принципу максимума, максимальное положительное (минимальное отрицательное) значение щ к достигается на границе, что противоречит (11.2.4), поскольку на границе Гй имеем
0
Чк “Ї+Є иі±1>к±1
Полученное противоречивое неравенство у-^-0 > 1 и доказывает теорему.
11.2.3. Решение разностных уравнений. Для решения системы линейных уравнений полученной разностной схемы могут применяться методы, изложенные в гл. 8, например метод простой итерации. Перепишем систему уравнений (11.2.5), (11.2.4) в виде, удобном для применения метода простой итерации: для внутренних узлов
к ,, А’, к .. Рі, к .. А, к „. І А к
Щ, к — ~иі, к + 1 иі- I, к ^і+ 1, к ~7, Щ, & + 1 + Т, 5
^і,к ^і,к сі,к ^і,к і, к
(11.2.8)
для граничных узлов
6 1 и''к~Т+Ъ иі±1’к±Л +у^0СРі±вд±е* (11.2.9)
Предположим, ЧТО 0 и выполняются условия (11.2.6). Будем решать систему уравнений относительно щ к методом простой итерации согласно следующему итерационному процессу: для внутренних узлов
для граничных узлов
0 1 ^ = | 1, к± 1 “Ь |^0ф1±еД±9> Р 0, 1, 2, ...
и\% задано.
Теорема 11.6. Пусть gi к<0 и выполнены условия (11.2.6). Тогда последовательные приближения и\% сходятся к точному решению разностной схемы и^к или системы уравнений (11.2.8),
(11.2.9) и имеет место оценка
qP
max | u\pl-ии k | —max | u\°l \,
i,k i—q ?,*
где
А ,.к (1+0,-,/ с\к
Доказательство этой теоремы состоит в проверке условия сходимости метода простой итерации для систем линейных уравнений (см. гл. 6), при этом подразумевается, что неизвестный вектор V образуют элементы и1к. Например, компоненты вектора V можно занумеровать следующим образом: пусть 1^/^Л^, 1 тогда
Vn1 + 1
= и
2, 15 UN,+ 2
= и
2, 2?
. , VN^ = UN^ 1, •5 V2Nl=UNv2> VNl,N2 = UNl,N2-
Относительно ве^ора V разностная схема—это система линейных уравнений в матричной записи
Ас = Ь,
где матрица А имеет в каждой строке не более пяти ненулевых элементов:
А =
—*. ..*•••***—*.
(11.2.10)
Это связано с тем, что производные в каждом внутреннем узле (/, к) аппроксимировались по пяти соседним узлам (рис. 11.8).
Узлы в аппроксимации производных дифференциального уравнения называются шаблоном.
На рис. 11.8 изображен пятиточечный шаблон, который использовался при построении разностной схемы во внутренних узлах исходного дифференциального уравнения.
\
428
V.
Матрица А вида (11.2.10), у которой #
достаточно много нулевых элементов, Т
называется разреженной. Для решения I
систем линейных уравнений с такими • Ф-----------------------•
матрицами разработаны достаточно эф- ^
фективные прямые методы решения— I \
формы исключения Гаусса со специаль- • (Х[, ук)
ным хранением матрицы (упаковкой) в памяти ЭВМ и специальной обработ- Рис. 11.8
кой. Подробности можно найти в [25].
