Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 136

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 168 >> Следующая

Справедливо следующее утверждение.
Теорема 11.7. Пусть и(х, /)еС4[?>]—решение задачи (11.3.1) — (11.3.3). Пусть также выполнено условие устойчивости разностной схемы
<1.
Тогда решения разностной схемы ии] при /2, т -»О сходятся к точному решению в среднеквадратичной норме на временном слое и имеет место оценка
/ т-1 \ 1/2
тах ( л ? К;—“(*(> ь))2 ) =0(И2+Т2).
V 1 = 0 /
11.3.3. Одномерное уравнение теплопроводности. Рассмотрим одномерное (одна пространственная переменная х) уравнение теплопроводности
ди 2д2и V
ТГа И?+Л*’')
(11.3.9)
в области ?> = {0^л:</, со следующими смешанными
условиями: начальное условие
м(х, 0) = фо(х) (11.3.10)
и краевые условия
м(0, г)=|х0(/), и(1, /)=^(0- (11.3.11)
Будем предполагать, что /(х, ?) и условия (11.3.10), (11.3.11)
согласованы в двух углах прямоугольника так, что и(х, г)е
ес4[>] —точное решение задачи (11.3.9)—(11.3.11). Проведем дискретизацию задачи на сеточной области /)й т, той же, что и для волнового уравнения на трех шаблонах: 1) явном, 2) неявном, 3) неявном шеститочечном (рис. 11.12). Начальное условие (11.3.10) в дискретном виде запишется следующим образом (для трех шаблонов):
И(,о = Фо(*.)>
0</<т. (11.3.12)
Краевые условия
0</<р. (11.3.13)
1-1
I
1)
1+1
1-1
*1 1+1 2)
Рис. 11.12
1-1
I
3)
1+1
435
Для внутренних узлов в соответствии с тремя шаблонами заменим в (11.3.9) производные следующими разностными отношениями:
(11.3.16)
(11.3.15)
(11.3.14)
Заметим, что правая часть (11.3.16) является полусуммой правых частей для к явной и неявной четырехточечных схем. Нетрудно проверить, что если и(х, /)е С4 [.?>], то на и(х, /) погрешность аппроксимации для схем 1), 2) в узлах такова: 0(т + Л2); для схемы 3), 0(т2 + /22).
Разностные схемы 1), 2), 3) исходной смешанной задачи для уравнения теплопроводности — это выражения (11.3.12), (11.3.13) совместно с разностными уравнениями для внутренних узлов 1),
Разностная схема 1) устойчива, если выполнено неравенство
Разностная схема 2) безусловно устойчива, но известный вычислительный* принцип: погрешности должны быть одного
порядка малости при вкладе в полную ошибку (см. гл.. 5) — также требует, чтобы т = 0(к2). Указанные жесткие ограничения на выбор шага т по времени делают схемы 1), 2) неэффективными для практики. Например, при абсолютной точности 8^ 10"2 следует выбрать Л=0,1, т = 0,01, совершив примерно в 10 раз больше вычислительной работы, чем по схеме 3) на одном и том же временном интервале.
Наиболее употребительна для рассматриваемой задачи схема 3), которую называют схемой Кранка—Николсона. Эта схема лишена отмеченных двух недостатков четырехточечных схем.
Рассмотрим ход вычислительного процесса по схеме 3) на примере перехода с нулевого временного слоя на первый. На
2), 3).
та2 ^ -Н2.
2
и *
О Ї
и2^?о(Х2)
нулевом временном слое щ 0 заданы (рис. 11.13). Чтобы найти ии, 0 ^ 2 < т, необходимо
решить систему линейных уравнений, которая получается из (11.3.16) при 7=0, а именно:
436
I
~(м|, 1—М1,о)=^2 [(М1+1,0—2м,-,0 + М1-1,о) +
+(м1+1д —2м,>1+м>_11)]+Д0;
имеем еще два соотношения для краевых значений из (11.3.13):
Мо,1 = ^о(т), Ит.1=^(Т)- (11.3.17)
Перепишем систему уравнений для значений и1Л во внутренних узлах (1</<т—1) в следующем виде:
I ТЯ2 ™2 ^ 1 ^
Л?и‘-1’1~{тт+1)и‘-1~2ри‘-1-1=р1’0’ (11318)
где
т а2
^,0= -т:Ло-2р(м>+1,о-2м(,о + мг-1,о)-м;>о
— известные величины, вычисляемые по нулевому слою. Теперь ясно, что (11.3.18), (11.3.17)—это трехдиагональная система линейных уравнений, которую можно решать методом прогонки (условия устойчивости прогонки здесь выполнены). Решив методом прогонки (11.3.18), (11.3.17), найдем значения ии, Чтобы найти
решение разностной схемы на втором временном слое щ 2, заменим
(11.3.17) из (11.3.13): м0 2 = Ро(2г), итЛ = |11(2т), а в (11.3.18) индекс 1 заменим на 2, 0—на 1. Решив полученную трехдиагональную систему относительно ии2, определим значения на втором временном слое и т. д. Вычислительный процесс продолжаем до достижения /7-ГО временного слоя.
Сходимость решений разностных уравнений к точному решению и(х, г) устанавливает следующее утверждение.
Теорема 11.8. Пусть и(х, /)еС4[Т)]—решение задачи (11.3.9) — * > (11.3.11). Тогда решение разностной схемы 3) — щ } при Л, т->0 сходится к точному решению и имеет место оценка
шах шах \щ ;-и(х1, /..)| =0(1г2 + х2).
11.3.4. Двумерное уравнение теплопроводности. Уравнение теплопроводности с двумя пространственными координатами лежит в основе моделирования многих реальных задач тепло- и массо-переноса. Вычислительные затраты решения таких задач выше, чем одномерных. Но если задача существенно двумерна, то одномерное уравнение уже нельзя использовать при построении модели.
Пусть, например, требуется найти распределение температуры в плоской квадратной пластине, на границе которой поддерживается заданная температура, с плотностью распределения на пластине тепловых источников /(х, у, ?). Начальное распределение температуры задано. Тогда эта задача в линейном приближении может быть записана в виде
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed