Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 127

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 168 >> Следующая

А1Е{Е1 +1 — С(Е(+1 -\-В( = 0,
А(Е{ Д. + 1+А1И1-С,/), +1-г( = 0,
406 \
Л,
откуда выразим Еі+1, Оі + 1 через Еь Д, а именно:
Еі+і — г _ \ р > 1</<*и—1,
' 1 1 (10.4.17)
А+1=^Й’ 1
Формулы (10.4.17) — это формулы прямой прогонки. Они позволяют по заданным значениям Д, ?>1 последовательно определить (если знаменатели не обращаются в нуль) (Е2, Т>2)? ^з)> •••> №»> До-
определив Ет, От, подставляем эти значения в (10.4.12), в результате получаем
Предполагая, что
находим
zm = Q{Emzm+Dm) + S. (l-??m)#0,
zm = QDm+S. (10.4.18)
m 1 ~QEm y
Обратная прогонка — это вычисление неизвестных zh i=m— 1, т — 2,
..., 0, по формуле (10.4.15). Вычисления можно осуществить, как
только из (10.4.18) получено значение zm.
Прогонка устойчива, если
|Д+1|<1, 0 < / < го — 1, (10.4.19)
в этом случае ошибки, возникающие в ходе вычислений, не накапливаются, т. е. не зависят от го. Этот факт следует из (10.4.15).
Теорема 10.6. Прогонка осуществима и устойчива, если выполнены неравенства
Ui>0, Bi>0, Ci^Ai + Bi, lsSi<m-l, П0 4 20) |_0<?1<lv0<?<l.
Доказательство. Для Et неравенство (10.4.19) следует из условия теоремы. Для /= 1, 2, ..., т— 1 неравенство нулю знаменателя в формулах прогонки и (10.4.19) вытекает из следующей цепочки соотношений:
Е _ д. h =
i+1 Q-A'E, (C.-^-?.J + Mi+?i)-^,
____________В,___________
(С.-Л.-Я,) + Я,+ (!-?,M,'
Действительно, поскольку числитель и все слагаемые знаменателя положительны, а знаменатель больше числителя для /= 1,
407
утверждение теоремы верно для Е2. Аналогично можно показать, что оно верно для / = 3, ..., т — 1, а условие 0 < 2 < 1 обеспечивает неравенство нулю знаменателя в (10.4.18), что и требовалось доказать.
10.4.3. Метод прогонки в разностной схеме краевой задачи. Разностная схема рассматриваемой краевой задачи (10.4.13) имеет следующие значения коэффициентов в формулах прогонки:
А,= 1/Л2, В,= 1/Л2, С1 = 2/Н2 — ц1.
Если ах=0, = 0 (что соответствует задаче с закрепленными
концами), то
^1=0, О1=сс2/(х0, 6 = 0, ^ = р2/Ро*
В силу нёравенства (10.4.8) прогонка для разностной схемы устойчива, поскольку неравенства (10.4.20) все выполнены.
Если рассматривается краевая задача общего вида и а^О, т^0, то для достаточно малых к из формул для Ех и () находим
?1 = 1+ %+0(А2),
«1
6 = 1 — |г А+0(й2),
К1
откуда следует, что прогонка устойчива, если
<*о/а1 <0, Ро/Р1>0. (10.4.21)
Выше уже упоминалось, что разностная схема аппроксимирует краевую задачу с точностью О {к2). Но аппроксимация и устойчивость дают сходимость со скоростью, определяемой порядком аппроксимации (см. п. 10.1.6) решения разностного уравнения к точному решению краевой задачи. Теперь можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 10.7. Пусть ц(х), г(х)еС2 [а, 6], #(.*)<0 на интервале [а, Ь ], пусть выполнено условие (10.4.21). Тогда решение разностной схемы (10.4.13), полученное методом прогонки, сходится к точному решению краевой задачи (10.4.5), (10.4.6) и имеет место оценка
шах \г{—г(х1)\^0(к2), Л->0.
0</</И
10.4.4. Краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений. Система линейных дифференциальных уравнений, как правило, возникает после этапа линеаризации исходной нелинейной системы в окрестности некоторого решения. Поэтому, решая линейные уравнения, следует всегда помнить о их происхождении. Например, норма решения системы линейных уравнений во многих случаях должна быть малой, иначе рассматриваемая линейная модель окажется неверной (большая погрешность математической модели).
Обширный класс технических задач, приводящий к краевым задачам для систем линейных уравнений, представляют собой
лпй \
проблемы автоматического управления. Многие из этих задач можно записать в виде
Здесь —обобщенные координаты управляемой системы, г—время (0^/<Г), #—производная по времени, ц.(/)— управляющие воздействия на систему. Простейшей задачей управления является следующая: при заданных управляющих воздействиях мД/) на систему найти траекторию (/), переводящую систему из заданного начального положения
в заданное конечное
Например, задача определения траектории управляемого снаряда принадлежит этому классу. Действительно, в плоской модели полета обобщенные координаты ^1=х, д2=У, уравнения движения в линеаризованном виде записываются в форме
р=м1(г)х+м2(г)>,+“з(?)’
где g—ускорение свободного падения,' иг(/), м2(/Х мз(0 — управляющие воздействия, определяемые тягой двигателя и сопротивлением воздуха. Начальное положение—это координата старта, конечное — координата цели (рис. 10.11). Таким образом, краевые условия
*(0) = л;(О), лг(Г) = л;(1);
Я0)=7<°>, у(Т)=у™.
Если условие в начальный момент / = 0 дополнить еще двумя, определяющими угол 0 запуска снаряда (0 = аг^(1>1/1;о)),
*(0)=юо, 3>(0)=»1, .
то получим на интервале 0^*<Г задачу Коши, которая имеет единственное решение, но, вообще говоря, траектория (х(0, у(t)) не проходит через цель при /=Г (рис. 10.11).
Если теперь будем задавать различные значения (г0, v1), т. е. изменять угол стрельбы 0, то будем получать различные решения задачи Коши, и, возможно, среди значений (г0, гх) найдем такой угол 0, при котором траектория с заданной точностью проходит через цель.
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed