Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 134

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 168 >> Следующая

11.2.4. Оценка погрешности и сходимость решений разностных уравнений. Можно показать, что принцип максимума, справедливый для системы разностных уравнений, эквивалентен устойчивости разностной схемы. Но тогда, так же как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, решения разностных уравнений при /г—>0 сходятся к точному решению краевой задачи со скоростью, определяемой порядком аппроксимации уравнения и краевых условий. Таким образом, для точного решения (м(х, }>)еС4[Т>]) имеем оценку погрешности
тах\щ к — и(х19 ук)\ = 0(й2), Л->0. (11.2.11)
и к
Оценка погрешности (11.2.11) справедлива, если точное решение четырежды непрерывно дифференцируемо в области Б. Для областей с угловыми точками, например прямоугольника, вообще говоря, и(х, у)фС4[В]. Однако если граничная функция, т. е. ф(*э у\ удовлетворяет в углах специальным условиям согласования, то точное решение м(х, /)еС4[г>] и является верной оценка
(11.2.11).
Для прямоугольной области П = {х0^д:<х1, такими
условиями согласования могут быть:
1) достаточная гладкость ф(х, у),
2) функция ф (х, у) должна удовлетворять в углах прямоугольника дифференциальному уравнению.
Например, функция ф(х, у) = х2+у2 "удовлетворяет условиям согласования для уравнения
д2и д2и
в углах В.
Оценка погрешности (11.2.11) имеет в основном теоретическое значение, поскольку содержит константу с, которую практически трудно определить:
шах|щ к — и(хь ук)\ = сИ2 + о(Н2), Л-+0.
ик
Поэтому в реальных расчетах используется правило Рунге оценки погрешности, аналогичное тому, которое применяется в численном интегрировании и решении обыкновенных дифференциальных
429
уравнений. Проводятся два варианта расчета и^к с шагом к и и?/* с шагом /г/2, тогда погрешность имеет вид
тах \и^1-и (х{, л)|=| тах | к?/* - и* к \+о (Л2)
I, к 3 », к
и главная часть погрешности определяется на совпадающих узлах.
11.2.5. Пример построения разностной схемы. Для примера рассмотрим уравнение
д2и д2и ~хди г{ ч
&с2 ду2
(11.2.12)
в квадрате /)=|0<*<1, 0<у^1} с краевым условием
и(х, у) = ф(х, у) = ехр(д:—у) (11.2.13)
на сторонах квадрата И.
Чтобы функция ф(х, у) удовлетворяла условиям согласования, подставим (11.2.13) в (11.2.12) и таким образом определим функцию /(*, у). Имеем
/(*, у) = е~Цех+1). (11.2.14)
Следовательно, точное решение уравнения (11.2.12) с краевыми условиями (11.2.13)—это и есть функция
(11.2.13), определенная внутри области О.
Метод построения этого примера с известным точным решением краевой задачи является традиционным при отладке программ решения рассматриваемого класса задач.
Выберем шаг /г=1/3. Занумеруем узлы так, как показано на рис. 11.9.
2/з
1/з
t(4.1) t /4,2) /4,3) „ /4,4)
; і J| ./3,1) ,(3,2) ( I ~ /3,3) } /3,4)
;/2,d , (2* , /2,3) /2,4)
і
(1,2) і 3 m-. (1,4) S—>
1/3 2/3
Рис. 11.9
1,0 х
Для значений ui k в граничных узлах из (11.2.13) получаем
м1Л = 1,0, и1і2 = ехр(1/3), и1і3=ехр(2/3), wli4=exp(l),
М2, 4 = exp(2/3), и3 4 = exp (1/3), м44= 1,0, w43=exp(—1/3),
«4, 2= exp(-2/3), M4>1=exp(-1), м3, 1 =exp( —2/3), w2, ! = exp(—1/3).
Для значений во внутренних узлах из (11.2.12), (11.2.14) получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
“2. 3 - 2и2, 2 + «2. 1 , М3. 2 “ 2“2, 2 + «1. 2 , в - 1 /з К 3 “ «2. 1)
(і/з)2
-+
(1/3)2

(2/3)
-M2.2 = e‘1/3(e1/3 + l),
ц2,4~2»2, 3 + Ц2, 2 | ц3,3~ 2^2,3+»1,3 | е~2/3 (Ц2.4
(1/3)2
(1/3)2
(2/3)
И-«2.3 = Є-2/3(е2/3 + 1),
ц3.4~2Цз, з + «з, 2 | ц4, 3~2Ц3, э+м2, 3 | ?-2/3
(«3,4
“3, 2J
(І/З)2
(І/З)2
(2/3)
-М3і3=е 2/3(е2/3 + 1),
430
\
иХЪ 2мЗ,2 + Из,1 ( ии2-2их2 + Щ,2 , л-1/3М2,3“М2, 1 -2/3 /л1/3 I 14
(ТТзр + (Т/зр +е ~Щ “3’2-е +1)-
Решив эту систему уравнений относительно м2,2? И2, 3> 3, М3)2,
определим приближенные значения к соответствующим точным значениям решения и (1/3, 1/3), и (2/3, 1/3), и (2/3, 2/3), и (1/3, 2/3).
11.2.6. Применение программы В8А0. Программа решает разностные уравнения, которые получаются при аппроксимации дифференциального уравнения на пятиточечном шаблоне. Область решения краевой задачи — прямоугольник. Если задана другая область, то ее можно заключить в прямоугольник и на непересекающейся части области с прямоугольником задать специальным образом краевую задачу. Затем используется программа В8А0. Более подробно с изложенным приемом, который называется методом фиктивных областей, можно познакомиться в [16].
Напишем программу решения задачи (11.2.12), (11.2.13) на сетке с числом узлов 8x8, т. е. с шагом Л =1/7. Приведем формулы для вычисления коэффициентов разностной схемы (11.2.5) для внутренних узлов 2</<7, 2<А:^7:
1 1 е~х1 4
А‘.к = р = СЬ*=-р~1'>
_ 1 е~х> _ 1
,л~к*+~2к’ 1Л~1Г2'
Здесь Xi = (i-\)h; yk = (k-l)h.
Для внешних узлов 1</, к <8
A i=0, ^4i 8 = 0, к = 0, А8 к = 0,
Bi, i = 0, Bit 8 = 0, , к= о, В^,к = о,
l = lj 8=Ь ^l,jlc=b ^8,fc=b ^i, i= 0, 8 = 0, Dl k = 0, D8 к = 0,
Ei, i = Et 8 = 0, Е1 к = 0, E8k = 0.
Формулы fi k для внутренних узлов
fi k = Q-yk(exi +1), 2<i, k^l.
Формулы fi k для внешних узлов
fi.i=eXi~yi, А*=^~у\ fUk=^-y\ h,k=zx*-y\ и/, м. Зададим точность выполнения разностных уравнений е1 = 10”3, точность для прекращения итераций г2=10-4.
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed