Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
437
Рис. 11.14
в области 0<у^1, <*х} с начальным условием
ди
(11.3.19)
и(х, у, 0) = фо(х, у)
(11.3.20)
и краевыми условиями
и(х, у, г) = ц(х, у, /), (х, у) є Г.
(11.3.21)
Решением задачи (11.3.19) — (11.3.21) является функция трех переменных й(х, у, /). При фиксированном / = /* обычно строят либо трехмерное представление и(х, у, /), либо на плоскость выводят линии уровня и(х, у, /) = сопз! (рис. 11.14). Чтобы построить разностную схему для двумерного уравнения, покроем область сеткой с шагом Н по переменным х, у и шагом т по времени / (рис. 11.15).
с одного временного слоя у на другой у+1 разбивают на два этапа:
1) переход на промежуточный временной слой уЧ-1/2 с шагом т/2, решение методом прогонки трехдиагональной системы в направлении оси л;;
2) переход на (/+ 1)-й временной слой с промежуточного (/+1/2)-го с шагом т/2, решение методом прогонки трехдиагональной системы в направлении оси у.
Шаблон метода переменных направлений представлен на рис. 11.16. Система разностных уравнений для внутренних узлов сеточной области имеет следующий вид:
Щ,к,]+Ц2-Щ,к,] _а2 ГЛ. , \,
(т/2) ~~ Л2 и 1+1'к'*+ 1/2 1/2 1 д,7+ 1/2/ '
Получим сеточную область
Кн,,={Хг=ік, Ук=кІг, г7=;т}, где 0<у^/?;
т= 1 //г, р = іі/х.
Рис. 11.15
Наиболее экономичный по числу арифметических операций метод решения двумерных задач — это метод переменных направлений (или, что то же самое, метод расщепления, метод дробных шагов). Переход
438
\
+{Чк+и-2щ,к,]+и1.к-1.М+А1и+и2> (11.3.22)
г, 2
Щ.к.]+1 иик.]+112_а Г/ _97у + 7, Ь
(т/2) "~/г2 М+1 ^м1\*^+1 + м1\*-1,./+1/ +
+ (МЁ + 1 ,к,7 + 1/2 ~2М?,к,,+ 1/2 + «!*_!,*,_/+ 1/2)] +Лк,7+ 1/2 •
Здесь введено обозначение А,к,]+1/2=Ах1> Ук> 0 + 1/2)* Кроме уравнений для внутренних узлов задаются значения нулевого временного слоя
И?,*,о = Фо(*»> Ук)> О^ик^т, (11.3.23)
и значения на границе сеточного квадрата
'«од,у = и(0, Л, tj), итд,; = и(1, У к, 0)> . .
3,0,./ = !*(*;, О, 1;), Щ'^ = ц(хь 1, /;). ' “5- ^
В (11.3.24) на дробном временном слое следует заменить
на 0+1/2 — 0+т/2-
Теорема 11.9. Пусть решение задачи (11.3.19) —
(11.3.21) и(х, у, г)е С4 Тогда решения разностной схемы метода переменных направлений щпри к, т->0 сходятся к точному решению в среднеквадратичной норме на временном слое и имеет место оценка
(т-1 \ 1/2
ь2 I км-Ф.’Л’ о))2) =о(л2+т2).
г.*=о /
Оценим объем вычислительных затрат и необходимой памяти ЭВМ для реализации метода переменных направлений. Для того, чтобы перейти с нулевого временного слоя на следующий (1/2)-слой, необходимо решить для 1</с<т—1 трехдиагональную систему:
(г/2) ’ *= Л2 ^^ +1 ’к’ 112 ~ к’112 + и[~1 ’*’1 /2)+
4"(м/,к+ 1,0“ + М1,к-1,о)] "К/1,к, 1/2 >
или в традиционной записи та2 ( 2а2х
где
^,к, 1/2 = “ ТАк, 1/2“ “^Т^.к+ЬО- ^к, 0 + к - 1, 0) ^и1,к,0
— известные величины, вычисляемые по нулевому слою. Чтобы для каждого /с, 1, выполнить прогонку, требуется 0(т)
арифметических операций; таким образом, общее число операций
439
2 +2 ) Щ,к, 1/2 + “Г2_М1+1,к, 1/2“ 1/2»
для определения по иик>0 значений щкл/2 составляет тО(т) = 0(т2). Для вычисления р временных слоев потребуется ~рО(т2) арифметических операций. Например, при т= 102, /?=103 число операций ~ 107 и на ЭВМ с быстродействием 106 оп/с требуется ~ 10 с на все вычисления.
Однако, для того чтобы оценить погрешность вычислений (применить правило Рунге), потребуется повторить вычисления с шагом й/2, т/2, а это увеличит число операций в 8 раз. Это составит ~ 80 с и общее время вычислений одного варианта с контролем точности ~ 90 с.
Теперь оценим необходимые ресурсы памяти ЭВМ. Очевидно, что если хранить значения и^к ] во всех узлах сеточной области Т>Й А т, потребуемся (/?+1)(га+1)2 ячеек памяти. Это составит ~107 слов, что для небольших ЭВМ превышает объем оперативной памяти. К тому же все временные слои в расчетах хранить не требуется. Обычно в памяти хранят только предыдущий и следующий временные слои, Т. е. Щ к р иик }+1, индекс у опускают, старый временной слой обозначают иик, новый vik. Тогда объем необходимой памяти для хранения значений и1Ъ ьик равен 2(т+1)2. Это составит ~2*104 ячеек, что приемлемо и для малых ЭВМ. Для анализа результатов некоторые временные слои (заданные
выводят на терминал, графопостроители и т. п.
11.4.1. Введение. Рассматриваемый в этом пункте метод прямых относится к полудискретным методам. В основе полудискретных методов лежит следующая идея: провести дискретизацию дифференциального уравнения с частными производными не полностью по всем независимым переменным, а лишь частично. Например, можно провести дискретизацию только по пространственным переменным (в нестационарных уравнениях), время / оставляется при этом как непрерывная переменная.
Для иллюстрации такого подхода рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности
Пусть {/о(*)> М*)> •••> К{х\ —} — базис пространства функций
С2 [0, 1], обращающихся на концах интервала в нуль.
Будем искать приближенное решение (11.4.1) в виде
Чтобы записать уравнения для а^/), разобьем интервал 0<х^1 узлами х( с постоянным шагом Н (рис. 11.17), к=\/п. Потребуем,
