Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
/=/о(*> У,
Если искать решение и(х, у, г, /) с той же частотой и неизвестной амплитудой и0(х, у, г)
и = и0(х,у, г)е‘ш,
то для функции м0(х, у, г) получим стационарное уравнение
со
/о
Дм0 + ^м0 =
а а
Это так называемое уравнение Гельмгольца.
11.2.2. Дискретизация стационарных уравнений конечно разностным методом. Идея дискретизации задач для уравнений с частными производными с помощью разностных схем (или методом сеток) та же, что и в обыкновенных дифференциальных уравнениях (см. гл. 10). Продемонстрируем ее на примере решения задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа
/ \д2и ,д2и , хди
У)-^I + Ь(х, у)—* + с(х, у) — +
ду
дх
,ди
+ *{х, у)— + ?(*, у)и=Дх, у),
/, к = 0, +1 ,* +2,_____
заданного в односвязной области Г> с границей Г (рис. 11.4). Коэффициенты в уравнении, правая часть и граница Г достаточно гладкие: а(х, }>)>0, Ь(х, ^)>0, §(х, ^)<0 в И. Пусть для уравнения (11.2.1) ставится краевая задача Дирихле
и(х, у) = ф(х, у), (х,^)еГ, (11.2.2)
где ср(л:, у) — гладкая функция на Г.
Покроем область Ъ плоскости (х, у) сеткой параллельных прямых (рис. 11.5)
х{ = х0 + Иг,
Ук=Уо+М,
Точки пересечения этих прямых называются узлами. Будем рассматривать только узлы, расположенные внутри области П. Два узла (х?, ук) называются соседними, если расстояние между ними по оси х или по оси у равно Н.
Узлы, которые имеют всех четырех соседей, расположенных внутри области Д называются внутренними. Множество всех внутренних узлов называется сеточной областью Д (на рис. 11.5 они обозначены кружком).
423
Узлы, у которых хотя бы один соседний узел не принадлежит D, называются граничными. Множество всех граничных узлов называется границей сеточной области ГА (на рис. 11.5 они обозначены звездочкой).
При сделанных выше предположениях существует точное решение краевой задачи (11.2.1), (11.2.2). Это функция и(х, у), а если коэффициенты, правая часть, граница и ср(л;, у) достаточно гладкие, то можно предположить, что и(х, у) имеет непрерывные производные по х, у до 4-го порядка включительно, т. е.
и(х, у)еС4 [D ].
Заменим во внутренних узлах производные в (11.2.1) разностными отношениями второго порядка точности аппроксимации по формулам j
д2и
дх2
Я2.
(xh ук) = ^i+uyk)-2u(Xi,yk)+u(Xi.uyk) + 0{h)2)
Р(х,-, Ук) = и(Х‘’ У^~1и^2 У^Х‘’ У^+0(Н)2.
Подставляя эти соотношения в (11.2.1), отбросив погрешность аппроксимации производных, получим разностные уравнения для неизвестных иик
_ Щ+1*,к~2щк+и1-1,к . , Щ,к+1 ~щк-1
а1Л —2-------------+ь!,к-----------------+
^-1Д , 1 Чк-1 Л г /1 1 -*> л\
си к 2/2 к 2И к к к’ (11*2.3)
где введены следующие обозначения значений коэффициентов и правой части в узле (*,, ук): аик9 Ьик9 сик9 4,*, guk9 /и, например
Ак=А*ь Ук)> (х19ук)еИк.
Соотношения (11.2.3) содержат кроме неизвестных щ к во внутренних узлах еще и неизвестные щ к на границе сеточной области. Для граничных узлов запишем соотношение
и(хь ук) = Ук) + 0{н)2
либо
«(*,, Ук) = Н*.Уы)+Ф,,У'±Щ+0{/1)2 0+1
в зависимости от того, какая точка, (х1±$Н, ук) или (х(9 ук±вк)9 О<0<1, пересечения непрерывной границы Г с линиями сетки
V
424
V.
и
и(х,у)^
ЛІ(хьук)
Рис. 11.6
находится ближе к граничному узлу (рис. 11.6). Эти соотношения означают, что значение и(хь ук) при [х(, ук)е Гй получается линейной интерполяцией значений и(х, у) во внутреннем узле и в точке пересечения Г с сеткой. Отбросив в последних соотношениях погрешность аппроксимации, получим выражения для неизвестных иік в граничных узлах
Пі-к = цГГТЇ ± 1»к ^ ± е»к)’
или
Чк =
(0+1)
1
(11.2.4)
(®иі,к±1 + ФіД±е)>
где введено обозначение Ф1±е,* = ф(х,-±0й, ук) аналогично Ф^+е-Заметим, что в (11.2.4) дробная часть шага Н (величина 0) зависит от узла 0 = 0*,*. Чтобы не усложнять запись в (11.2.4), индексы / и к опущены.
Присоединяя уравнения (11.2.4) к (11.2.3), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно и( к. В этой системе число уравнений равно числу неизвестных и равно числу узлов в Ик и ГА.
Система уравнений (11.2.3), (11.2.4)—это разностная схема непрерывной задачи (11.2.1), (11.2.2).
Решения разностной схемы щ к — приближения к точному решению и(хь ук) в узлах хь ук (рис. 11.7). Перепишем систему уравнений
(11.2.3) в следующем виде:
^*М1,к=Лк> (11.2.5)
= А^кЩ,к— 1 ^ики1~ 1Д С{'кЩ,к~^~ ^Ь,кЩ + 1Д ^,кЧк+ 1 > где коэффициенты задаются формулами
А
ик~к2 2Н9
п ___________^і,к
Сі,к— —
2(аик+Ьик) , л
П _ Ч к ,СІ, к г _ Ьі, к .4 к
А2 2/і ’ і'к~ А2 2/г ’ ч ч Л
По предположению, гладкие функции а(х, у) > 0, о (х, у) < О,
поэтому
425
gi,k^0, Aitk>0, Bitk>0, Cu<0, A,k>0, ?u>0 (11.2.6)
для достаточно малого шага h. Заметим, что имеет место равенство
^u + ^u + Q* + Afk + ^if*=?u- (11.2.7)
Будем предполагать выбор h столь малым, что сеточная область Dh остается односвязной, т. е. из любого узла Dh в любой другой можно перейти на сетке по пути, который связывает только соседние узлы. Важным фактом разностных уравнений
(11.2.5) является следующая теорема, которая называется принципом максимума. На принципе максимума основано доказательство многих теорем существования и единственности теории разностных схем.
