Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 135

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 168 >> Следующая

Программа может иметь следующий вид:
REAL H,X(8),Y(8),A(8,8),B(8,8),C(8,8),D(8,8)
REAL E(8,8),F(8,8),U(8,8),G,E 1 ,E2 REAL E3(20),E4(20),W1(8,8),W2(8,8),W3(8,8)
INTEGER N1 ,N2,N,11,12,13,N3,14,15,1 DATA H/0.142857/,N1 ,N2,N,11,12,N3,14,15,1 * /8,8,8,20,0,0,0,0,0/
431
DATA E1,E2/1.E—3,1.Е—4/
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ УЗЛОВ И КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ DO 1 1=1,8
DO 2 1=2,7 DO 2 К=2,7 A(l,K)= l./(H*H)
B(I,K}= 1 ./(H * H) - (EXP( - X(I))/2. * H)
C(I,K)= — 4./(H * H) — 1.
D(I,K).= l./(H*H)+(EXP( - X(I))/2. * H)
E(I,K)=W(H*H)
F(I,K)=ЁХР( - Y(K)) * (EXP(X(I))+1.)
DO 3 1 = 1,8 Aft,l)=0.
B(I,1)=0. '
ch,ij=i.
D(I,1)=0.
E(l,l)=0.
A(I,8)=0.
B(I,8] = 0.
C(I,8)=1.
D(I,8)=0.
E(I,8)=0.
A(l,l)=0.
B(1,I) = 0.
C(1,1) = 1. *
D(1,I) = 0.
ЕЙ,1) = 0.
A(8,l)=0.
B(8,I]=0.
ф,1)=1.
D(8,I)=0.
E(8,I)=0.
F(I,1)=EXP(X(I)-Y(1))
F(I,8)=EXPXI)-Y(8))
F( 1,1)=EXPiXi 1)—Y(l)j F(8,I)=EXP(X(8)-Y(I))
ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ B8A0 CALL B8A0(N 1 ,N2,N,A,B,C,D,E,F,U,G,11,12,13,
* N3,I4,I5,E 1 ,E2,E3,E4,W 1,W2,W3,I)
ВЫВОД НА АЦПУ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ WRITE (6,4) U FORMAT (2Х,8Е13.6)
END
• 11.3. Разностный метод решения нестационарных уравнений
11.3.1. Нестационарные уравнения. Уравнения с частными производными, у которых одна из независимых переменных является временем, называются нестационарными. Решения таких уравнений и(г, х, у, г) описывают изменяющиеся во времени и пространстве процессы различной природы. Примеры нестационарных уравнений (волнового и теплопроводности) приведены в п. 5.3.19.
Особая роль времени в нестационарных уравнениях обусловлена также тем, что нестационарные процессы часто бывают необратимыми во времени. Это связано с диссипацией (рассеиванием) энергии, происходящей во время процесса. В диссипативных уравнениях неэквивалентность положительного хода времени и отрицательного проявляется в том, что преобразование 7Х = — 7 не сохраняет вида уравнений.
11.3.2. Волновое уравнение. Рассмотрим смешанную задачу (т. е. заданы начальные и краевые условия) для волнового уравнения
д2и 2 д2и , V
Ъ?=а гР+Л*’*) (11.3.1)
в области 1> = {0^л:</, 0^7^7^ с начальными условиями
и(х, 0) = фо(д:), ^(х, 0) = <Р!(х) (11.3.2)
и условиями на краях
и(0, 7) = О, м(/, 7) = 0. (11.3.3)
Будем предполагать, что /(.х, /), ф0(*), Ф1М—достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области В (х = 0, 7 = 0), (х = /, 7 = 0), обеспечивающие существование и единственность решения и(х, 7)бС4[Д].
Для дискретизации исходной задачи покроем (рис. 11.10) область сеточной областью Вкт:
/)Л§т = {*, = /й, 0<Кт, 7у=/т, 0</</?},
где т = ///г, p = t1/x. Заменим производные во внутренних узлах ВНх конечно-разностными отношениями
: ) «(р-м. х,)-2и(^, х,)+и(^_и х,) |
д2и^ х х1+1)-2и(^, х,)+и{^, х,.^ )
по шаблону, указанному на рис. 11.10. Подставим эти выражения в (11.3.2); отбрасывая погрешность аппроксимации, получим
1 а2
^2(Ц/+1,/ Ц/-1.*) = ~^2(Ч/д+1 1 )“К//,1 01*3.4)
433
— систему разностных уравнений для внутренних узлов, 1^ ^/'^/7—1, 1. Начальные условия (11.3.2) заменяем раз-
ностными соотношениями
м.-,о = Фо(*()> 0 <;т,
^,,-Ф,(^^«Ф,(»,)+у(/,.+°г','“(,,'*‘|~2ф;!,:'|+'|>'’(дг‘-')). (п.3.5)
Краевые условия заменяем условиями в узлах
м0,7= 0, ит у=0, 0<у ^/7. (11.3.6)
Система линейных алгебраических уравнений относительно щ^
(11.3.4) — (11.3.6) является разностной схемой смешанной задачи (11.3.1) — (11,3^3). Погрешность аппроксимации замены дифференциального уравнения и начального условия 0(/г2 + т2).
Заметим, что как в стационарном уравнении, так и в волновом использовался одинаковый шаблон. Но на границах области заданы различные услбвия. Смешанные условия (11.3.5), (11.3.6) позволяют явно записать формулы для решений разностных уравнений на (/+ 1)-М временном слое, если известны ии}, М*,;-!, т. е. явно
решить систему разностных уравнений.
Схемы, позволяющие явно записать решения систем уравнений разностной схемы, по аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями называются явными.
Из (11.3.4) для значений и( ]+1 на (/+1)-м временном слое
находим формулу
а2\2
1 — ^^’,7 1 ^2 (^1+1,7 1,7*)“^^ /из* О 1*3.7)
которая совместно с (11.3.5.), (11.3.6) позволяет вычислить значения решения на втором слое
и0,2> М1,2^ —5 ит, 2 (11.3.8)
по значениям на нулевом и первом. Затем по формуле (11.3.7) совместно с (11.3.8), (11.3.6) можно вычислить значения решения
на третьем слое м0 3; и13; ...; ит з по значениям на первом и втором слоях и т. д. Процесс вычислений завершается после достижения /?-го временного слоя.
Аналогично явным схемам для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. 10.1) схема (11.3.7) условно устойчива. Поэтому описанный выше процесс следует применять с учетом условий устойчивости.
А
; е— : е— 36-
(1-1)
* ф I (1+1)
Рис. 11.10
-ЭС*
0-1) <- j <-0+1)
434
/
иг,з
1
1Шь
ГР“
Рис. 11.11
?1-11.
Формулы явных разност- и + ных схем легко программируются. Некоторые временные слои обычно выдают на терминал, АЦПУ или графопостроитель, например, третий слой в виде, представленном на рис. 11.11.
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed