Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
11.1.3. Вариационные методы. В основе вариационных методов лежит переход от задачи для уравнения с частными производными к задаче минимизации функционала. Этот прием обобщает идею перехода от решения уравнений к задаче минимизации целевой функции, построенной по исходным уравнениям (гл. 9).
Функционалом называется оператор, который ставит число в соответствие функции.
Примером функционала является оператор
1/2
dxdy,
D
416
\
который любой функции и(х, у), непрерывно дифференцируемой в области Д т. е. и(х, ^еС1 [/)], ставит в соответствие ее площадь поверхности.
Далее будем рассматривать функционал вида
/(гг)=||г(х, у, и, ^Щйхйу (11.1.1)
и
на функциях и(х, у)еС1[р] таких, что на границе Г области 7> функция и принимает заданные значения (рис. 11.2)
и(х,у)=у(х,у), (х, у)еГ. (11.1.2)
Пусть функционал 1{и) достигает на функции и(х, у) своего минимального 7 значения 7(й). Это означает, что на «близких» функциях к й(х, у) функционал имеет значения, не меньшие 7 Близкие функции к й(х, у) определяются следующим образом:
и(х, у)=й(х, у)+аг|(х, у), где а—малые числа, т|(х,у)еС1[0],
т)(х, ^)=0, (х, у)еГ.
На близких функциях можно определить функционал (11.1.1):
т/ \ с с - дй дч\ дй дгЛ , ,
/(а)=Яг(х,7,д:+а11, ^ + «77’ ^ + «х)Дгф.
дх ду ду
Разложим /(ос) в ряд Тейлора по а с центром в нуле. Получим
/№Т+|( о)«+1?(ок + ...
Первой вариацией функционала 1(и) называется величина
второй вариацией — величина
Теорема 11.1. Если функционал 1{и) достигает на функции и{х, у) минимального значения, то
57=0, 52/^0.
Доказательство этой теоремы аналогично соответствующему доказательству для минимума функции одной переменной 1{и) (рис. 11.3). Запишем разложение /(ос) для функционала (11.1.1)
14 Ю. П. Боглаев
417
:
у
— = О ^ ^ >0 6Ы 0,6Ы}
в предположении, что функция Р дважды непрерывно дифференцируема по аргументам и, ди ди дх5 ду
Имеем
и и+<* “
Рис. 11.3
т=[\риу,Щ^у> Щ<Ыу +
( дР Л + (
к ди'
+
ди'
(1хс1у + 0(<х1).
Отсюда определяется первая вариация функционала:
, (^?_\ (^ дх)^\ди')\ду
8/= и
• в
др\ (дР ^у11 удм;
с1хс1у.
Здесь черта сверху означает, что выражение берется на функции й{х, у). Преобразуем 81 с учетом формулы интегрирования по частям , в двумерной области (формула Грина):
|Р2с1хс1у = — |\Р1*^с1хс1у +1Р1Р2соз(л, х)с1Г,
и ОХ 0 ОХ р
-нормаль к границе. Аналогичная формула справедлива Получим
где п
для
ду'
8/=И
1
+1
?')сов(п,х) + уди.
.(Ё.
Но последнее слагаемое в правой части равно нулю, поскольку г| (л:, з^) = 0 при (х, }>)еГ. Окончательно первая вариация функционала принимает вид
д_ ^
дх\ди’ху ду \дыуу
Необходимое условие минимума 5/= 0 означает, что интеграл в правой части должен обращаться в нуль для любой функции г|(л;, у), обращающейся в нуль на границе Г, но отсюда следует (это можно строго доказать), что
Ь |Дам (
Г|(д:, у)с1хс1у.
дР
ди
д ( дР дх I ди’х
_А (0?
ду I ди'у
= 0
(11.1.3)
на функции и{х:, у).
Уравнение (11.1.3) — это уравнение Эйлера, оно является необходимым условием минимума функционала (11.1.1) с условием
418 ^
(11.1.2). Заметим, что (11.1.3)—уравнение с частными производными, а условие (11.1.2) — условие Дирихле, которое служит для однозначного определения решения (11.1.3). В основе вариационного метода лежит следующее утверждение.
Теорема 11.2. Пусть функция м(х, у) доставляет минимум функционалу (11.1.1) на функциях и(х, у)еС2 [О ], удовлетворяющих на границе условию и(х, у) = (р(х, у). Тогда й(х, у)—решение дифференциального уравнения (11.1.3) с условием (11.1.2).
Справедливо и обратное утверждение (при условии, что 82Т>0): решение й(х, у) задачи (11.1.3), (11.1.2) минимизирует функционал /.
Вариационным методом решения краевой задачи (11.1.3), (11.1.2) называется метод сведения ее к поиску минимума соответствующего функционала, для которого данное уравнение является уравнением Эйлера.
Следует отметить, что собственно вариационный метод не является численным методом, он широко применяется и в аналитических построениях. Как видно из изложенного выше, мы еще не ввели дискретизацию задачи.
Приведем примеры уравнений (11.1.3) и соответствующих функционалов:
д2и д2и Л ,, ч с Л(ди\2 ^
О и Си Л г/ \ с С
‘»аР+а?-0’ '(“»-И
д2и д2и , ?. ,,
2)а? + а?'";
м
т
)]
ди
Г,' +и
йх(1у;
2
з) 8-^+д- ?
’ дх2 + ду2
(I) +(|)
г =/(х,у); /(м)=И
Л
Последний пример определяет функционал задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Для приведенных функционалов можно показать, что 52Т>0 на любой функции и(х, у)еС2 [В ].
Функционал может содержать производные от и(х, у) более высокой степени, нежели первая. Например, нагруженная пластина с заделанным краем
и(х, у) = 0, ^=0, (х, у)еГ,
описывается уравнением
д4и
д4и д4и . ч
~ТТ1 + ТТЇ =АХ> у)>
дх4 ^дх2с1у2 ' ду4
где ф(х,у)—нагрузка на пластину. Соответствующий функционал
и\2 ^ д2и (д2и\2 - Л , ,
+2га, + {гу)
Будем предполагать, что задано однородное краевое условие и(х,у) = 0, (х, у)еГ; если это не так, то замена переменных
14*
419
v = u — cp (x, у) приводит к однородному краевому условию. Будем предполагать, что функционал 1{и) имеет положительно определенную вторую вариацию, т. е. 52/(м)>0 для любых ифО, на которых 1(и) определен.
