Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
—(2А — Hij) = ? YkYk, где Yk из L. Подобным образом —(2А -J-
к
+ Hij) = ?2?, где Zi из L. Следовательно, используя коммута-
I
ционные соотношения алгебры Ли L1 получаем
4Д2 - Iilj = ? (YkZlY (YkZl)-j- A21 (54)
к. I
где A2 лежит в ?(3). Неограниченные операторы
411
Согласно утверждению 9.2.1, ?(3> натягивается на операторы (47) и операторы вида
Нці: = XlXjXk -f- XiXkXj -f. XjXiXk -f. XjXllXl -f-
+ XkXiXj + XkXjXi. (55)
Следовательно, мы можем записать A2 = Xj%#,7 -f- S, где S — вещественная линейная комбинация из Xi и Hijlr Поскольку другие выражения в (54) симметричны, S должно быть симметричным. Но Xi и HijIl кососимметричны. Поэтому S также кососим-метрично. Следовательно, S = O. Поэтому, согласно (53), существует а > 0, такое, что —оА -[- A2 лежит в Р. Следовательно, согласно (54), 4А2 — H2ij — оА также лежит в Р. Используя тот факт, что (А2н, и) » 0, (Л«, и) с 0, и полагая k = max (2, aJ4), для всех и из D получаем
I HijU I2 « ((4А2 — а А) и, и) < 4 (А2«, и) - а (Au, и) -f- ~ (и, и) с
< k2 (A2w, и) - 2k2 (Аи, и) + к2 (и, и) = к21| (А - Т) и ||2.
Поэтому I HijU I < k I (А — /) и |. Если и ф D, то обе стороны этого неравенства бесконечны. Поэтому | Hlj | < k | А — I \.
Лемма 7. Пусть 1 = | X11 + ... +1 Xd \, и пусть а = | А — /1. Тогда а аналитически доминирует над Фактически ? < =? (dl2yi'a, и существуем с < <х>, такое, что для всех п > 1 (ad а < с'а. Также | А | + | / | аналитически доминирует над
Доказательство. Неравенство I < (d/2)1'2 а прямо следует из (49). Чтобы доказать неравенство (ad а < с"а, введем сначала норму ЦІ • ЦІ в ?(2). Заметим, что ?i2> является фактически конечномерным векторным пространством, так как оно натягивается на элементы (47). Если А лежит в ?(2;, то мы определяем ЦІ А ЦІ как наименьшее число, такое, что | А | < ka. По лемме 6 оно всегда конечно и задает норму в ?(2>. Более того, если ||| А ]|| = = 0, то А = 0. Поэтому Е{2> с этой нормой является конечномерным банаховым пространством. Для любого А из ?<2> (ad Xi) Л лежит в ?(2> согласно (21). Поскольку (ad X1) — линейное отображение в конечномерном пространстве ?(2>, то оно непрерывно по норме III • |||. Поэтому существует ci <оз, такое, что |||(adX,) Л ||| < ¦с Ci ЦІ Л ЦІ- Положим с = d max с,-. Согласно (17), (ad а является суммой d" выражений вида | ad Xin ... ad X1- A |, которые ... CijCC. Следовательно, (ad ?)" a с"а. Поскольку с < оо и величина v (s) из теоремы 4 конечна (v (s) = ехр (es)), то а аналитически доминирует над Если положим а' = | А | -}-¦Н/|, то, согласно соотношению (17) и неравенству ||(А — /)и||< 412
Г лава 5
<|| Aw I + I и |, (ad l)n а' < с"а < с"а'. Поэтому |А|+|/| также аналитически доминирует над
Замечание. Лемма 6 может быть обобщена. Можно показать, что если В лежит в ?<'2'") (m = 1, 2, ...), то для некоторого k < оо
IВI < kam,
где а'п = | (А — /)"' |. Более того, если оператор, соответствующий і] = I Y1 I + ... + I Y11, лежит в ?<2т> и ad Yh /=1, 2, ..., /, отображает ?<2"'> на себя, то ат аналитически доминирует і] (см. [628], лемма 6.3). Однако мы не нуждаемся в этом результате.
§ 4. Аналитические векторы для унитарных представлений групп Ли
В § 1 мы показали, что каждое представление T группы Ли G приводит естественным образом к представлению ее алгебры Ли L, определенному на подпространстве Гординга Dg. Однако это соответствие в таком виде не является вполне удовлетворительным. Действительно, может оказаться, что подпространство [D a Dg (или само Dg), которое инвариантно при действии алгебры Ли L, не инвариантно для G. Например, если G — однопараметрическая группа трансляций, представленная в гильбертовом пространстве L2 (—оо, +оо) формулой TJ (у) = / (х + у), то каждое подпространство С" (0, п), п = 1, 2, ..., инвариантно при .действии оператора X = 6.16.x алгебры Ли. Однако очевидно, что они не инвариантны при действии группы трансляций.
В общем дело в том, что ряд Тейлора регулярных функций не обязательно сходится к регулярной функции. В самом деле, на подпространстве Гординга для генератора Xt из L, ф из Со (G) и и (ф) из Dg вектор
T (Xi)" и = и [Xni Ф) (1)
является регулярным вектором для представления T группы G1 так как Тхи (Х"ф) = j (Х"(р)(х~гу) Туийу, но разложение
n n
Yj^7 (*<)" " M =IS^ ГіЦі (/) TxU dX (2)
n=0 п=О
в общем случае не сходится при N --> оо. Те векторы и из Н, для
У in
-nl T(Xi) и, і = 1, 2, ..., dirnL, сходится,
представляют особый интерес и, согласно § 3, называются аналитическими векторами для представителей T (Xi). Правильно выбранные аналитические векторы гарантируют удовлетворитель- Неограниченные операторы
413
ную связь между представлениями LwGbH. Мы покажем, в частности, что инвариантные подпространства аналитических векторов относительно T (L) являются также инвариантными подпространствами аналитических векторов относительно T (G) и обратно.
Этот параграф посвящен анализу свойств аналитических векторов для унитарных представлений групп Ли. Сначала мы установим связь между аналитическими векторами для представления X-^Tx группы и аналитическими векторами для операторов T (X), X ? L1 в смысле соотношения (3.1).
