Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 1. Пусть x —» Tx — представление группы JIu G в гильбертовом пространстве Н. Пусть X1, ..., Xd, d = dim L, — базис для алгебры Ли L группы G, и пусть | = | T (X1) | -... ... -1 T (Xd) |. Тогда если и ? H — аналитический вектор для то и — аналитический вектор для представления T группы G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что если Txu аналитичен в окрестности точки е в С, то Тхи аналитичен всюду. В самом деле,
Тхи = TijTij-IxU
аналитичен, если элемент х близок к фиксированному элементу у ? G. Более того, мы знаем, что экспоненциальное отображение является аналитическим изоморфизмом окрестности точки ObL с окрестностью точки е в G (см. теорему 3.10.1). Поэтому достаточно доказать, что если и ^ H — аналитический вектор для то X —> Texp X и аналитично в некоторой окрестности точки 0 в L. Пусть X = X1J1 f ... + Xdtd. Тогда Texpхи аналитичен в некоторой окрестности точки ObL тогда и только тогда, когда
Si S (3)
п=0 (Xj-I-----
для достаточно малых ti, ..., td, где Ipc6j c,d — коэффициент
при fi1 ... f/ в разложении для ехр [Г (X1) Ii -f- ... -\-Т (Xd) ta 1 и. Используя (3.15), видим, что |[Ijvxj является нормой суммы
нескольких выражений, которые также появляются в разложении Il ехр (is) и ||, если мы положим I1 = ... — td ----- s. Поэтому левая часть (3) < | ехр (?s) и ||, когда s =-- max (| t1 \ , ..., \td\y, следовательно, она <оо по нашему предположению.
Замечание 1. Приведенный результат может быть усилен. Можно показать, что вектор и ? H является аналитическим вектором тогда и только тогда, когда и аналитичен для представления T группы G (см. [6281, лемма 7.1).
Докажем теперь два основных свойства множества аналитических векторов для унитарного представления T группы Ли G. 414
Г лава 5
Теорема 2. Пусть X > Tx — унитарное представление группы JIu G в гильбертовом пространстве Н. Тогда множество At аналитических векторов для T плотно в Н. Если X1, ..., Xd — базис алгебры JIu L группы G и А = X1 -f- ... X2d, то любой аналитический вектор для T (А) является аналитическим вектором для представления T группы G, и множество А т <д> таких векторов плотно в Н.
Доказательство. Пусть T(Xi), і = 1, 2, ..., d, обозначает образы генераторов Xi алгебры L, и пусть T (А) — T (X1)2 - ... ... -f- T (Xd)2. По утверждению 1.2 T (Xi) кососимметричен на области Гординга Dg и по теореме 2.3 T (А) существенно самосопряжен.
^ OO ___ ^
Положим D=D D(T(A)"). По (3.43) каждый вектор из D
_/1=1 _
лежит в D (Т (X1i) ... T (XiJ) для всех конечных последовательностей I1, ..., іп. По теореме Стоуна область определения D (Т (X)) для X из L является множеством всех векторов и из Я, для которых предел (т. е. производная) в (1.11) существует. Следовательно, если и лежит в D, то и лежит в D (Т (X)), поэтому TxU имеет все частные производные в х = е. Внутренний автоморфизм у - > хухх в G порождает внутренний автоморфизм
X —> Adx (X) = X Xx"1 (4)
в алгебре Ли L группы G [см. (3.3.28)1. Поэтому для образов (относительно Т) имеем
T(X)Тхи = Tx (Тх-гТЩTx) и = TxT(Y)u, (5)
где Y = Adx-I (X). Для X', X" из L имеем
Т(Х")T(Xr) TxU = TxT (У")T(Y') и
и подобное выражение для произвольных произведений T (Xii) ... ... T (Xin). Таким образом, Тхи имеет частные производные всех порядков для всех X из G и и из D ¦ Следовательно, D содержится в пространстве Dg всех бесконечно дифференцируемых векторов. Ясно, что Dg =эDg. Если и лежит в Dg, то и лежит вD (Т (А)") для любого п; следовательно, и ? D. Поэтому D ZD Dg и, следовательно, D = Dg. Любой аналитический вектор для T (А) лежит в D, и, следовательно, он является аналитическим вектором для T (А). Оператор T (А) самосопряжен, и поэтому по лемме 3 он имеет плотное множество аналитических векторов.' Так как, согласно лемме 3.7, а = | T (А) — I \ аналитически доминирует над то это все аналитические векторы для ? и по Неограниченные операторы
415
лемме 1 они являются аналитическими векторами для представления T группы G.
Пример 1- Пусть G — трехмерная нильпотентная группа из примера 2.1, и пусть
T[a?,v]U (х) = ехр [— і (у + +)1 и (х - {- а) (6)
— унитарное представление группы G в L2 (—od, +со). Тогда генераторы однопараметрнческих подгрупп имеют вид
Р = C = -U. (7)
Они удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга [Р, QI = —і/. В качестве общей плотной инвариантной области определения D для алгебры Ли (7) возьмем пространство Шварца S С°°-функций и (х) с
sup j Xа и (х) j <оо, а, ? = 0, 1-----
Вычислим плотное множество аналитических векторов для оператора T (А) = P2 + Q2 + С2. Единичный оператор -C2 в T (А) может быть отброшен, так как каждый аналитический вектор для T (А) аполитичен для
T (A') = P1 + Q2 = — л-'г. (8)
Операторы (8) имеют тот же вид, что и гамильтониан для одномерного гармонического осциллятора. Хорошо известно, что нормализованные на единицу собственные функции ип (х) оператора T (Л') могут быть выражены через полиномы Эрмита, т. е.
ип (х) == (Уп2пп!)",/2 ехр (_ х','2) Hn (х). (9)
Они соответствуют собственным значениям Kn — 2п + 1 (см. [5871, стр. 492). Эти собственные функции являются аналитическими векторами для T (A'). В самом деле, для s < оо
