Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
421
два неограниченных самосопряженных оператора называются сильно коммутирующими, если коммутируют их спектральные разложения.
Следствие 3. Пусть AuB — симметрические операторы на гильбертовом пространстве Н, и пусть D — плотное линейное подпространство в Н, такое, что D содержится в области определения операторов А, В, A2, AB, BA и В2, и такое, что ABu = = BAu для всех и из D. Если ограничение A2 -j- B2 на D существенно самосопряжено, то
Г А и В существенно самосопряжены,
2° A и В сильно коммутируют.
Доказательство. 1°. Пусть L — двумерная абелева алгебра Ли с базисом X, Y, и пусть р (аХ -J- bY) = іаА + іЬВ. Тогда все предположения следствия 2 выполнены. Следовательно, на H существует единственное унитарное представление T одно-связной абелевой группы (т. е. изоморфной R2) G, такое, что T (Z) = р (Z) для всех Z из L. По следствию 4 теоремы 2.3 іT (Z) самосопряжен. Следовательно, А = —іT (X) и B = —іT (Y) существенно самосопряжены.
2°. Поскольку G абелева, унитарные операторы Texpz = = ехр [Т (Z)], X = ехр Z ? G, Z ? L, коммутируют. Поэтому самосопряженные операторы іT (X) = A и іT (Y) = В сильно коммутируют.
Из следствия 3 теоремы 2.3 мы знаем, что симметрические элементы L, M центра Z обертывающей алгебры E отображаются на существенно самосопряженные операторы T (L) и T (M). Однако если G — группа физической симметрии, то мы требуем, чтобы соответствующие самосопряженные операторы T (L) и T (M), так же как и Tx и T (L), х ? G, L = L+ ? Z, сильно коммутировали. Следующая теорема показывает, что это в действительности имеет место.
Теорема 3. Пусть T — унитарное представление связной группы JIu G в гильбертовом пространстве Н, и пусть Z — центр левоинвариантной обертывающей алгебры E для G. Тогда
1° Для любых симметрических L, M из Z самосопряженные оператора T (L) и T (M) сильно коммутируют.]
2° Для любых симметрического N из Z и х из G операторы T (N) и Tx сильно коммутируют. Доказательство. 1°. Для любого
и (q) = [ q (х) Tm dx ? De а 422
Г лава 5
(D0— область Гординга), согласно (1.17), имеем
T (L) T (Л1) и (ф) = и (LMif) = и (Mhp) = T (M) T (L) и (q).
Поэтому, взяв D = D0I получаем, что все предположения следствия 3 выполняются. Следовательно, самосопряженные операторы T (L) и T (M) сильно коммутируют.
2°. Пусть и (т) ? Dg. Тогда, используя тот факт, что левые сдвиги LvCj (х) = q (if 1X) коммутируют с любым элементом N ( ? Z, и используя (1.17) и (1.13) для любого и (q) ? Dg, получаем равенство
TyT (N) и (cf) - TyIi (N4) - и (LyN4) = и (NLy4) =
= T (N) и (Lycp) = T (N) Tyii (ф).
Поэтому операторы T (N) и Tx для любых N из Zwx из G коммутируют на области Гординга. Операторы T (N) и Tx также коммутируют на D (Т (N)). В самом деле, если и ? D (Т (N)), то из определения замыкания T (N) оператора T (N) следует, что существует последовательность Dg Э ип ->и, такая, что T (N) ип —> к и T (N) ип —> T (N) U = V. Поскольку каждый оператор Tx, X ? G, непрерывен, для каждого и ? D (Т (N)) имеем
TxT (N) и = Tx IimT (N) ип = lira Т, T (N) ип = VmiT(N)Tji,
= T (N) Tx Iirn U1 = T (N) Тхи.
п > г>
Утверждение пункта 2° следует теперь из того факта, что каждый ограниченный оператор, коммутирующий с самосопряженным оператором, сильно коммутирует с ним.
§ 6. ФС3-теория интегрируемости представлений алгебр Ли
В этом параграфе мы приводим красивую теорию интегрируемости представлений алгебр Ли, разработанную Флато, Саймоном, Сиелманом и Стернгеймером (ФС3-теория). В противоположность теории Нельсона, изложенной в § 5, она дает критерий интегрируемости прямо в терминах свойств генераторов алгебр Ли. Следовательно, в общем она более эффективна для практических приложений, в особенности для алгебр Ли высших размерностей.
Начиная рассуждения, заметим, что в случае конечномерных вещественных алгебр Ли можно ввести несколько других определений аналитических векторов, которые эквивалентны (или слабее) определениям, использованным в § 3 и 4 (см. определение 3.1): Неограниченные операторы
423
1. Вектор и f H аналитичен для каждого элемента из алгебры Ли (в смысле аналитичности для одного оператора, как определено в § 3).
2. Вектор UfH аналитичен для каждого элемента X1, і = 1, 2, ..., dim L, заданного линейного базиса алгебры Ли.
3. Вектор ufH аналитичен для каждого элемента Xk, являющегося генератором Ли алгебры Ли 1J.
Очевидно, что понятия аналитичности по 1—3 слабее понятия, введенного в § 4.
Докажем теперь основной результат, который говорит, что достаточно иметь общее инвариантное плотное множество аналитических векторов только для базиса алгебры Ли (в смысле определения 2), чтобы гарантировать интегрируемость первоначально заданного представления алгебры Ли. Мы начинаем с некоторых предварительных результатов.
Пусть к —» T (х) — представление алгебры Ли L в комплексном гильбертовом пространстве H кососимметрическими операторами, определенными на общей плотной инвариантной области определения D. Очевидно, что такое представление сильно непрерывно в Н. В дальнейшем мы будем писать X = T (х), Y = T (у) и т. д. и будем использовать обозначение
