Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 144

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 153 >> Следующая


OO

A(tX, У) = ^ (ad X)" К

<1=0

Л еіМіМА 1. Для любых х, у f L и и f D ряд

со

A(tX, y)«=2-?((adX)nK)U (1)

/і=0

сходится для всех t f R и

T (ехуе~ху) и = А(Х, Y) и. (2)

доказательство. Соотношение (2) следует из (3.3.43) и из вышеупомянутой сильной коммутативности. Заменяя х на tx, мы получаем сходимость ряда A (tX, Y) и для всех t f R.

Легко проверить, что для любых х, у f L VL и f D имеем

т

YXmU=Yii^) Х" ^ adX)m-py)u. (3)

P=O

г) Напомним, что множество [^ttYk=V п ^ dim L, называется множеством генераторов Ли для L, если L натягивается на линейные комбинации повторяющихся коммутаторов от элементов | Xft 424

Г лава 5

Утверждение 2. Пусть T и T' — два представления вещественной алгебры Ли L кососимметрическими операторами на общих инвариантных областях определения D и D' (соответственно) плотных в И, с D cz D' и таких, что для любого у ? L Y = T (у) яляется ограничением на D оператора Y' = T' (у). Тогда если D — область аналитических векторов для некоторого X = T (х) ? T(L), то, обозначая через (¦, •) скалярное произведение в Н, для любых t ? R, и ? D и v ? D' имеем

(— e'^Yii, v) = (с** и, A(tX',Y")v). (4)

Доказательство. В силу замечания 1 к лемме 3.1 замыкание X оператора X (и оператора X') кососопряжено и, следовательно, порождает единственную однопараметрическую группу, которую мы обозначим через е*. Для всех и ? D функции t —> —» е'*и и t —> e'*Yu аналитичны в R. По лемме 1 функция t —> —» A (tX', Y') V с V ? D' также аналитична в R. Следовательно, функции a (t) = (—e'XYu, v) и b (Q = (е'*и, A (tX', Y') v) также аналитичны для всех вещественных t. Мы имеем

(0 ) = (-X«Yu,v), (5)

(ad x'r" Y'v>•

P=о

Так как Y a Y' a Y'* (и то же для X), то из (3) мы получаем, что d"a (0) = (0). Поэтому a (t) = Ь (t) для всех t ? R.

dt" v' dt'1

Следствие 1. При условиях утверждения 1 e~'*v принадлежит области определения D (У*) оператора Y*, сопряженного Yt при всех V ? D' и t f- R и

T' (etxye~tx) и = — є** Y*c-tx?j. (7)

В самом деле, в силу непрерывности по и правой стороны в (4) e~:xv ? D (Y*), откуда следует формула (7) [(так как D плотно в Я).

Предположение (A). T является представлением алгебры JIu L на плотной инвариантной области определения D векторов, которые аналитичны для всех кососимметрических представителей Xi = T (X1) элементов базиса X1, ..., хг алгебры L.

JIemma 3. Если предположение" (А) удовлетворяется, определяем Hca как пересечение областей определения всех одночленов Неограниченные операторы

425

Xij ... Xin для всех 1 < iu ¦¦¦, tn с г, м ? N. Пусть Xl — ограничение Xi до H03. Для всех

г

У = H 1=1

определяем

Y' = T'(у) ЕЕ ZhXi 1=1

(с инвариантной областью определения Hco). Тогда T' — представление алгебры L кососимметрическими операторами (на Hc,) и для любых двух элементов xi и xj базиса и для v ? H0= имеем

A (tX'h Xj) V = еХіХіЄ~ІХіік (8)

Доказательство. По определению H00 содержит D и инвариантно относительно всех

Xi = Xi = — Xi = — Xi ,

а потому и относительно всех Y', которые, согласно сделанному предположению, кососимметричны. По определению T' также линейно. Но если

г

iх і, х/] — Zj ciikxk, k=і

то для всех D ? Hx и и ? D имеем

((X'lX] - X-X',)V, и) = (v, (XjXi - XiXl-) и) = = <Ч — HcijkXku\ = (^1CijllXkV,

\ il /nfe /

Следовательно, T' — представление, и мы можем применить формулу (7) с D' = H0, к у = xj, откуда следует (8).

ЛEiMMA 4. Если выполняется предположение (А), то определенная выше область H00 инвариантна относительно T' (L)

и относительно всех однопараметрических групп е'А'<, и если J1, ..., tr — дифференцируемые функции некоторого параметра t, то для всех и ( H0 векторнозначная функция

І-. е. .. е'*'и

имеет первую производную по t. 426

Г лава 5

Доказательство. Из (8) и из инвариантности относительно T' (L) для всех базисных элементов X1, X , ..., Xjn и всех V f Hx получаем

А (і Х-, X1) ... A (tXi, Xj-Jv^exiXii ... Xine~tXiv,

и e~tx'v принадлежит области определения всех операторов Xji ... Хіп, откуда следует инвариантность Htx относительно eIXi.

Свойство дифференцируемое™ следует :по индукции из диф-ференцируемости векторнозначной функции t —> U (t) и (t), где t —> u(t) f Hm сильно дифференцируема, a t U (t) — унитарная операторнозначная функция, сильно дифференцируемая на Hx (такая, что отображение (t, и) —» U (t) и из RxH в H непрерывно).

Теперь мы даем основной результат.

Теорема 5. Пусть T — представление' алгебры JIu в комплексном гильбертовом пространстве, удовлетворяющее предположению (А). Тогда T интегрируется до единственного унитарного представления группы.

Доказательство. Пусть х, у — элементы из L, достаточно близкие к 0, так что ех, еу, ехеу и, следовательно, е/хе« при 0 с с t с 1 лежат в окрестности W единицы группы G, введенной в 3.3. Ж- Запишем

еиеи = Л*1.
tx tIxI е'х = е1 1 . .. e>*<.
er = е 1 1 . .

Для любого ZfL, такого, что ez f W, запишем (если базис выбран, то единственным образом) е2 = е?|Л| ... є7r^r и определим
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed