Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 145

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 153 >> Следующая


Т(ег) = е*1*' ... c**r. (10)

Так как G порождается конечными произведениями элементов из W, то нам следует только показать, что групповой закон имеет место в W, т. е. что для любых ех, е'-> f W, таких, что ехе>< f W, имеем T (ех) T (е'~<) = T (еХ1>) и что had T(L) является дифференциалом от T (G). Однозначность очевидна, так как соотношение (10) является необходимым условием. Неограниченные операторы

427

Из леммы 4 следует, что при и ? Яоо T (е!х) и и T (е1хеу) X X T (е!')~1 и — дифференцируемые функции от t. Так как

то прямым вычислением получаем

... е r^"1XrГ''-1*'-1 ... е"^1)т(е'х)и и подобным образом

^fT (etx) и = T (elx) (-?- ... ...

Из соотношений (3.3.41), (2), (8), (9) и (10) находим

4 T (ё*) и = X T {е1х )и = Т (е'А) Х'к. (11)

С Другой стороны, для всех U Є Ясс прямым вычислением получаем ±T{etxe")T{ev)~\ =

= (^?+...+-^ Л*1... еа'-1^r-1X^a'-1*'-1 ... Г"1*1) X

X Г (e'V) T(^)-1U.

Поэтому из соотношений (3.3.42), (2), (8), (9) и (10) получаем, что для всех и ? Я» T (etxe'J) T (euYl и (которая принадлежит HJ) является также дифференцируемым решением векторнознач-ного дифференциального уравнения (со значениями из Я» и дифференцированием в топологии пространства Я)

~ и (0 = Х'и (0, (12)

Такое уравнение имеет единственное решение (см. [449], стр. 481). В самом деле, легко проверить, что для любого решения и (s) Q Hoo и 0 < s < t с 1 T (си~5) х) и (s) дифференцируема по s и что

(Т (e(t-s) *) и (S)) = _ T х) Xu (S) \ T (e{t~* х) Xu (S) = 0. 428

Г лава 5

Следовательно, T (e'<~s> х) и (s) не зависит от s. Приравнивая ее значения при s = 0 и s =-= t, получаем, что и (t) = T (etx) и (0), откуда следует единственность решения уравнения (12) в Hct3 и групповой закон (который мы можем расширить из Hca до H по непрерывности)

T (є V) = T (eix) T (ev).

Более того, соотношение (11) показывает, что T(L) является ограничением до D дифференциала от T (G).

Заметим, что, согласно результату Нельсона, аналитический вектор для А обязательно аналитичен для всей алгебры в целом, в то время как ситуация в теореме 5 иная: из того, что мы говорили до сих пор, мы знаем только, что существование плотного инвариантного множества аналитических векторов для базиса предполагает интегрируемость и, следовательно, по глобальной теореме существование (другого) плотного инвариантного множества аналитических векторов для всей алгебры (в смысле Нельсона) и поэтому для группы.

Теперь мы дадим более сильный вариант теоремы 5, который использует наиболее слабое понятие аналитичности, данное в определении 3.

Теорема 6. Пусть выполняется предположение (А). Пусть Ix1, ..., хпj — множество генераторов Jlu алгебры JIu L, и пусть А обозначает множество аналитических векторов для каждого из T(X1), ..., Т(хп) в отдельности. Тогда:

1. Множество всех аналитических векторов для заданного произвольного элемента из L инвариантно относительно T (L).

2. Существует единственное унитарное представление соответствующей связной односвязной группы JIu (имеющей L алгеброй Ли) на замыкании наименьшего множества А', содержащего А и инвариантного относительно T (L), дифференциал которого на А' равен Т.

(Доказательство см. в [2661.)

Следует отметить, что инвариантность множества аналитических векторов относительно T (L) была получена автоматически.

Следующая теорема полностью выясняет связь между слабой аналитичностью, сильной аналитичностью Нельсона и аналитичностью для представления группы.

Теорема 7. Пусть G — вещественная конечномерная группа Ли. Тогда существует базис Ix1, ..., хп\ соответствующей алгебры Ли L, такой, что если задано любое представление группы G в гильбертовом пространстве, то любой вектор, аналитический в отдельности для замыканий представителей базиса [хх, ..., хп}, Неограниченные операторы

429

будет аналитичен для представления группы (что означает аналитичность для всей алгебры Ли, т. е. аналитичность в целом).

(Доказательство см. в [266].)

Теперь мы перейдем к другому вопросу: являются ли аналитические векторы в действительности необходимыми для гарантирования интегрируемости?

Первый пример, показывающий такую необходимость, был построен Нельсоном [628]. Следующая теорема хорошо иллюстрирует эту проблему.

ТеОРБіМА 8. Каждая компактная алгебра Ли размерности п > 1 имеет по крайней мере одно представление (в гильбертовом пространстве) на инвариантной области определения, такое, что каждый элемент алгебры представляется существенно кососопря-женным оператором на этой области и каждый элемент некоторого линейного базиса алгебры интегрируем до однопараметрической компактной группы, но представление не является интегрируемым.

(Доказательство см. в [268].)

ФС3-теория очень удобна для приложений. В частности, Ни-дерле и Микельсон [639] и Нидерле и Котецкий, используя ФС3-критерий интегрируемости, показали, что представления алгебр su (р, q) и so (р, q), полученные методом Гельфанда—Цетлина (§ 8), интегрируемы.

ФС3-теория нашла также интересные приложения в квантовой теории поля Вайтмана. В частности, Снелман [771 ] доказал, что действие полиномиального кольца от полевых операторов на вакуум содержит плотное множество аналитических векторов для группы Пуанкаре. Этот анализ впоследствии был расширен Нагелом и Снелманом [615].
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed