Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Фактически эта лемма дает критерий для интегрируемости косо-симметрического представления алгебры Ли. Однако этот критерий может не быть легко применимым в конкретных случаях. Следующая теорема дает простой критерий интегрируемости.
Теорема 2. Пусть L — алгебра Ли кососимметрических операторов в гильбертовом пространстве Н, которые имеют общую инвариантную плотную область определения D. Пусть Xu ... ..., Xd- операторный базис для L, а а = X? -j- ... -j- Х|. Если А существенно самосопряжен, то в H существует единственное унитарное представление T односвязной группы Ли G, имеющей L своей алгеброй Ли, такое, что для всех X из L T (X) '= X.
Доказательство. Пусть | = j X11 + ... + | Xd | и ? = = I A I + I I \. По лемме 3.7 ? аналитически доминирует над 1,
OO Неограниченные операторы
419
а по последнему утверждению леммы 3.5 множество векторов, для которых Ilехр (Is) U I <00 при некотором S > 0, плотно в Я. Поэтому, согласно лемме 1, мы получаем утверждение теоремы.
Из теоремы 2 вытекает следующее следствие, которое дает полезный критерий неинтегрируемости заданного кососимметрического представления алгебры Ли L.
Следствие 1. Пусть L — такая же алгебра Ли, как и в теореме 2. Если хотя бы единственный элемент ЇХ для X из L не существенно самосопряжен, то с L не может сопоставляться никакое унитарное представление T (G) односвязной группы G. Следовательно, А не может быть существенно самосопряженным.
Доказательство. Если А существенно самосопряжен, то по теореме 2 существует единственное унитарное представление T (G) односвязной группы GuT (X) = X для всех X из L. Согласно следствию 4 теоремы 2.3, T (ІХ) самосопряжен и, следовательно, каждый ІХ должен быть существенно самосопряженным. Поэтому если некоторый \Х не существенно самосопряжен, то не суще-ствует^глобального унитарного представления T группы G, такого, что T (X) = X. Следовательно, А не может быть существенно самосопряженным.
Пример 1. Пусть L — гейзенбергова алгебра Ли, определенная следующими коммутационными соотношениями:
[X, У] = Z, [X, Z] = О, [Y,Z] = 0. (1)
Пусть Я = L2 (S), где S — открытый интервал (0, 2л), и пусть
X==~k* У = 1ф' 2^il (2)
— кососимметрическое представление алгебры L, определенное на С" (S)1 которое является общей инвариантной плотной областью определения. Для и из С" (S) и для любого V из C1 (S) имеем
2я
(Xu, V) = j Xu (ф) V(ф) (1ф = (и, — Xd ) -}- и (2л) v (2л) — и (O) v (0) =
о
= {и, —Xv) = {u, X*v). (3)
Поэтому D (X*) =D D (X) и на C1 (S) X* = —d/d«p. Оператор X был бы существенно самосопряжен, если бы он имел индексы дефекта (п+, п_) = (0, 0). Из формулы (И) приложения Б.1 следует, что индексы дефекта п+ и п_ симметрического оператора iX равны числу решений уравнения
X*v± =±v±. (4) 420
Г лава 5
Для оператора X* = —d/d<p на C1 (S) имеем их = ехр (^<р). Поэтому индексы дефекта п+ и ti оператора X равны (1, 1). Таким образом, оператор X не существенно самосопряжен. Следовательно, в силу следствия 1 представление (2) алгебры Гейзенберга не интегрируется до глобального представления соответствующей нильпотентной группы.
Следующее полезное следствие дает основной результат теоремы 2, но с более слабым предположением на область определения представления. Грубо говоря, теорема 2 касается перехода от области D типа С°° до Cfe, k < оо, а приведенное ниже следствие — перехода от Ck до С2.
Следствие 2. Пусть L — вещественная алгебра Ли, a H — гильбертово пространство. Для каждого X из L пусть р (X) — кососимметрический оператор на Н. Пусть D — плотное линейное подпространство в Н, такое, что для всех X, Y из L D содержится в области определения для р (X) р (Y). Предположим, что для всех X, Y ? L, и ? D и вещественных чисел а и b имеем р (аХ + ЬУ) и = ар (X) и + bp (Y) и, (5)
P ([X, Y]) и = (р (X) р (Y) ~p(Y)p (X)) и. (6)
Пусть X1, ..., Xd — базис для L. Если ограничение А оператора P (Xi)2 + • • • +P (Xrf)2 до D существенно самосопряжено, то на H существует единственное унитарное представление T односвязной группы Ли G, имеющей L алгеброй Ли, такое, что для всех X из L T(X) =J(X).
Доказательство. В рассматриваемом случае, как и в лемме 3.5, для каждого п имеем
D (Л") a D(р(Х7|)...р(Xin))- (7)
Доказательство этого соотношения совпадает с доказательством соотношения (3.43). Только вместо рассмотрения ad р (X) А, который может иметь в своей области определения только 0, мы рассматриваем р ((ad X) А), где А = ХЇ + ¦•• + X2d. Поскольку, согласно (3.21), (ad X) А ? E2, то оператор р ((ad X) А) определен
^ оо и ^ __^
на D. ПоложимО = f| D (Л"), А — ограничение A HaD, a Xi —
_ Л=1
ограничение р (Xi) наD. Согласно (7), D инвариантно относительно Xi. Более того, так как А а А а А, мы находим, что А (—А) самосопряжен, т. е. А существенно самосопряжен. Итак, все предположения теоремы 2 выполняются и, следовательно, следствие справедливо.
Из теоремы 2 и следствия 2 получаем удобный критерий сильной коммутативности неограниченных операторов. Напомним, что Неограниченные операторы
