Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Var: HIzkk (Va; Z)--* H1 (Fa; Z).
Из рис. 7 или 6 видно, что для всякого цикла б (E#faMk(Va; Z) рис 7 имеет место соотношение
Var 6 = (Лоб) А.
Здесь (Аоб)—индекс пересечения циклов А и б, определяемый комплексной ориентацией слоя Va. Это соотношение называется формулой Пикара — Лефиіеца.
Заметим, что, вообще говоря, диффеоморфизмы Tt определены только с точностью до гомотопии и априори преобразование T1 не обязательно неподвижно вне компакта. Например, напрашивающееся семейство диффеоморфизмов
TJ: (z, w)>—>(z exp (nit), w exp (nit))
определяет отображение
V1^h': (z, w)^(—z, — w),
которое не является неподвижным вне компакта и поэтому не годится для определения вариации (хотя и годится для определения действия монодромии на компактные гомологии).
Таким образом, мы рассмотрели основные понятия теории Пикара—Лефшеца: исчезающие циклы, монодромию и вариацию для простейшего примера функции f(z, w) = z2 + ay2. ВВЕДЕНИЕ
9
В общем случае произвольной функции любого числа переменных топология слоя Vx уже не будет столь простой, как в разобранном примере. Исследование топологии слоя Vx, моно-дромии и вариации в общем случае—трудная задача, решенная полностью лишь для некоторых специальных особенностей. В этой главе рассказывается о некоторых методах и результатах, полученных в этом направлении.
Основной метод, которым мы будем пользоваться,— метод деформаций (или шевелений). При малом шевелении сложная критическая точка функции п переменных распадается на простейшие. Эти простейшие критические точки устроены, как критическая точка 0 функции / (zx, ..., z„) = z? + . .. + и исследуются полностью, подобно тому, как выше был разобран случай п = 2. Вместо цилиндра Vx, получающегося в случае п = 2, в общем случае неособый слой (многообразие уровня Vx = ^z1, ...,zn): z\ 4- • • • + г% = Ц, Кф 0) диффеоморфен пространству TSn касательного расслоения (п — 1)-мерной сферы (при п = 2 получается цилиндр). Исчезающий цикл в слое V1—это вещественная сфера S"-1 = -jz?IRncC": zf-f- ... +г*= 1}.
Если сложная критическая точка распадается при деформации на р. простейших, то и критических значений у продеформирован-ной функции будет, вообще говоря, р. (рис. 8). В этом случае в плоскости значений продеформированной функции можно обхо-
один диффеоморфизм монодромии h, а целая группа монодромии {hv}, где у пробегает фундаментальную группу множества некритических значений.
Неособый слой Vx пошевеленной функции устроен (внутри некоторого шара вокруг критической точки исходной функции) так же, как неособый слой исходной функции. Когда значение К подходит к одному из критических значений пошевеленной функции, на неособом слое исчезает некоторый цикл—сфера, размерность которой равна половине (вещественной) размерности слоя Vx (рис. 9). Подходя таким образом ко всем ц критическим значениям, мы определяем в неособом слое (х исчезающих циклов — 10
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
сфер средней размерности. Оказывается, что неособый слой гомо-топически эквивалентен букету этих сфер.
В случае, когда вещественная размерность неособого слоя делится на 4 (т. е. когда число переменных п нечетно), индекс пересечения задает в группе гомологий Нп_у (Vx', Z) неособого многообразия уровня симметричную билинейную форму. Индекс самопересечения каждого из исчезающих циклов равен (в зависимости от числа переменных п) +2 или —2. Действие обхода вокруг соответствующего исчезающему циклу критического значения сводится к отражению относительно зеркала, ортогонального этому циклу в смысле скалярного произведения, заданного индексом пересечения.
Например, для функции трех переменных
/(Z1, Z2, z3) = zf+1 + z| + z| удобным шевелением является
/(Z1, Z2, Z3) = /(Z1, гз, Zs) EZ1.
Эта функция имеет \x — k критических точек (y/e/(k-{-1)Im, 0, 0), где ^m (т= 1, ..., k)—корни А-й степени из единицы. Соответствующие исчезающие циклы A1, . . ., Afe могут быть выбраны так, что они будут иметь следующие индексы пересечений: (АгоД;.) = —2, (A1OA2) =(А2оА3)= . . . =(Aft_1oAft)= 1 (остальные пересечения будут равны нулю). Группа монодромии порождена отражениями в ортогональных дополнениях к циклам Am и совпадает с группой Вейля Ak (см. [16]), т. е. с группой S(A+1) перестановок (& + 1) элементов.
В этой главе мы обычно (кроме § 5) будем иметь дело с изолированными особенностями функций. Поэтому под термином «особенность» будет пониматься росток голоморфной функции /: (С, 0)—>(С, 0), имеющий в нуле изолированную критическую точку (т. е. точку, в которой все частные производные функции f равны нулю).
Пусть G: (Сл, 0)—* (О, 0)—росток в нуле аналитического отображения, U —окрестность нуля в пространстве С, в которой определен представитель ростка G, G^—аналитическое по X из окрестности нуля в С семейство отображений U—i-C^ такое, что G0 = G. Малым шевелением G отображения G мы будем называть отображение Gx для достаточно малого X, не указывая каждый раз явно это семейство и ограничение на величину параметра X.
Всюду абсолютные группы гомологий считаются приведенными по модулю точки, а относительные группы гомологий пары «многообразие—край»—по модулю фундаментального цикла (волна над буквой H, которую обычно используют для обозначения приведенных групп гомологий, при этом будет опускаться). Все го- §1]
