Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Зафиксируем окружность, обходящую вокруг критического значения. Каждая точка этой окружности является значением функции. Множества уровня, соответствующие этим значениям, образуют расслоение над окружностью. Обход окружности определяет отображение множества уровня над начальной точкой окружности в себя. Это отображение называется (классической) монодромией критической точки.
Простейшим содержательным примером, в котором все это можно явно увидеть и вычислить до конца, является функция двух переменных
f (z, w) = z2+ZV*, (z,w)?C2.
Она имеет единственную критическую точку z = w — 0. Критическое значение / = 0. Критическое множество уровня V0 = \(z, w): Z2 -(- W2 = 0} состоит йз двух комплексных прямых, пересекающихся в точке 0. Все остальные множества уровня
V* = {(z, w): z2 + w2 = X} (ХфО) 6 ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ [ГЛ. I
топологически одинаковы: они диффеоморфны цилиндру 5х XlR1 (рис. 1).
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим риманову поверхность функции W = V X—Z2 (рис. 2). Эта поверхность склеивается из
двух экземпляров плоскости комплексной переменной г, соединенных по разрезу (—Vk Vx). Каждый экземпляр разрезанной плоскости гомеоморфен. половине цилиндра; линии разреза соответствует на цилиндре окружность. Итак, все (вещественно четырехмерное) пространство C2 разбито на особый слой V0 и неособые
слои Vjl,, диффеоморфные цилиндрам,— прообразы критического значения 0 и некритических значений X=^O при отображении
/: (С2, 0) —(С, 0).
Рнс. 3.
Перейдем к построению монодромии. Рассмотрим на плоскости значений функции путь, обходящий вокруг критического значения 0 в положительном направлении (против часовой стрелки): X (t) = exp (2nit) а, 0<*<1, а>0 (рис. 3). Проследим за изменением слоя V"x,(f) при изменении і от 0 до 1. Для этого рассмотрим римановы поверхности функций
w = VX(t)—г2.
Обе точки ветвления z = ±Vx (t) — exp (nit) (±jAx) при возрастании параметра t движутся, обходя вокруг точки 2 = 0 в положи-
t=o
2??
t=t/3 t=2/J
Рис. 4.
/Wt*
?=7
тельном направлении. Когда t изменяется от 0 до 1, каждая из этих точек совершает пол-оборота и приходит на место другой. Таким образом, обходу X(t) вокруг критического значения 0 соот- ВВЕДЕНИЕ
7
ветствует серия римановых поверхностей, изображенная на рис. 4, начинающаяся и кончающаяся одной и той же поверхностью Va.
Теперь легко построить непрерывно зависящее от t семейство диффеоморфизмов начального слоя Fx (0) -Va в слой V^w над точкой A. (t)
начинающееся с тождественного преобразования Г0 и заканчивающееся монодромией Tl=Zi. Например, можно определить Tt следующим образом. Выберем гладкую «срезающую функцию» % (г) так, чтобы X (/") = ! при
0<г<2|/а, * (г) = 0 при
Положим
8t (z) = exp {ш7 -х(М)}-2.
Семейство диффеоморфизмов gt плоскости комплексной переменной z в себя определяет искомое семейство диффеоморфизмов Tf.
Получающийся диффеоморфизм ____
цилиндра h = T1: Va —>-Va явля- ґ' "s^
ется тождественным вне доста- V-точно большого компакта (при > \г\>зУа).
Рассмотрим теперь действие J монодромии h на гомологии не-особого слоя Va. Группа H1 (Va; Z) a; Z одномерных го-мологий цилиндра Va порождена Рис. 5.
классом гомологий «горловой»
окружности А (рис. 5). При а—>-0 окружность А стягивается в точку 0. Поэтому она называется исчезающим циклом Пикара — Лефшеца.
Рассмотрим еще группу //fык (Va; Z) одномерных гомологий слоя Va с замкнутыми носителями. В соответствии с двойственностью Пуанкаре эта группа также изоморфна группе Z целых чисел. Она порождена классом гомологий «коисчезающего цикла» V—линии на цилиндре, идущей из бесконечности на бесконечность и один раз трансверсально пересекающей исчезающий цикл А (см. рис. 5). При этом мы будем предполагать, что цикл V ориентирован таким образом, что индекс пересечения (V°A) его с исчезающим циклом А, определенный комплексной ориентацией слоя Va, равен +1.
Рис. 4 позволяет проследить за действием диффеоморфизмов Tt на исчезающий и коисчезающий циклы (рис. 6).
Заметим, что диффеоморфизм Zi = T1 цилиндра Va^sS1XiR1 можно представить себе так: он неподвижен вне некоторого кольца, а окружности, составляющие кольцо, поворачивает на разные углы, меняющиеся в пределах от 0 на одном его краю до 2л на другом. Таким образом, под действием преобразования монод- 8
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
ромии h исчезающий цикл А переходит в себя, а коисчезающий перекручивается один раз вокруг цилиндра (рис. 7).
Диффеоморфизм h неподвижен вне некоторого компакта. Вне этого компакта циклы V и ZtV совпадают. Поэтому цикл ZiV— V
/Фїї/Щ
ZrV
t=o
t=l/S
t =2/3
?=f
Рис. 6.
сосредоточен в компактной части цилиндра. Из рис. 7 (или из рис, 6) видно, что
ZiV-V = -A.
Таким же образом для любого цикла б с замкнутым носителем возникает цикл с компактным носителем h8—б. Тем самым определено отображение из гомоло-гий слоя Va с замкнутыми носителями в его гомологии с компактными носителями. Оно называется вариацией и обозначается
