Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Третья глава посвящена интегральному исчислению на многообразиях уровня критической точки голоморфной функции. В ней рассматриваются интегралы голоморфных форм, заданных в окрестности критической точки, по циклам, лежащим на гиперповерхностях уровня функции. Интеграл голоморфной формы по циклу 4
ПРЕДИСЛОВИЕ
голоморфно изменяется при непрерывной деформации цикла из одной гиперповерхности уровня в другую. Таким образом возникают многозначные голоморфные функции, заданные на комплексной прямой в окрестности критического значения функции. Оказывается, что асимптотики этих функций (т. е. асимптотики интегралов) при стремлении уровня к критическому связаны с разнообразными характеристиками исходной критической точки голоморфной функции.
Теория особенностей является обширной и быстро развивающейся областью математики, и мы не стремились затронуть все ее направления.
Список литературы содержит работы, непосредственно связанные с текстом (хотя иногда и не цитируемые в нем), а также работы, связанные с предыдущей книгой, но по тем или иным причинам не вошедшие в ее библиографию.
Авторы благодарны участникам семинара по теории особенностей МГУ, в особенности — А. М. Габриэлову, А. Б. Гивенталю, А. Г. Кушниренко, Д. Б. Фуксу, А. Г. Хованскому. Авторы благодарны также В. С. Варченко и Т. В. Огородииковой, оказавшим большую помощь при подготовке рукописи к печати.
Авторы ГЛАВА I
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ИЗОЛИРОВАННЫХ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ФУНКЦИЙ
Введение
При топологическом исследовании изолированной критической точки комплексно-аналитической функции возникает задача описания топологии ее множества уровня. Топология множества уровня или множества меньших значений гладкой вещественнозначной функции на многообразии может быть исследована при помощи теории Морса (см. [78]). В ней изучаются перестройки множества меньших значений и множества уровня функции при прохождении критического значения. В комплексном случае при прохождении критического значения перестройки множества уровня не происходит, поскольку все неособые множества уровня, близкие к одному критическому, одинаковы как топологические пространства и даже как дифференцируемые многообразия. Комплексным аналогом теории Морса, описывающим топологию множества уровня комплексно-аналитической функции, является теория Пикара — Леф-шеца (исторически возникшая раньше). В теории Пикара —- Леф-шеца основным изучаемым преобразованием является не прохождение критического значения, а обход вокруг него в плоскости С значений функции.
Зафиксируем окружность, обходящую вокруг критического значения. Каждая точка этой окружности является значением функции. Множества уровня, соответствующие этим значениям, образуют расслоение над окружностью. Обход окружности определяет отображение множества уровня над начальной точкой окружности в себя. Это отображение называется (классической) монодромией критической точки.
Простейшим содержательным примером, в котором все это можно явно увидеть и вычислить до конца, является функция двух переменных
/ (z, w) = Z2 -{- W2, (Z,
Она имеет единственную критическую точку Z = W = 0. Критическое значение / = 0. Критическое множество уровня V0 = \(z, w): г2+ ay2 = 0} состоит из двух комплексных прямых, пересекающихся в точке 0. Все остальные множества уровня
Vx = {(г, w): Z2 + w2 = X\ (ХфО) 4
ПРЕДИСЛОВИЕ
голоморфно изменяется при непрерывной деформации цикла из одной гиперповерхности уровня в другую. Таким образом возникают многозначные голоморфные функции, заданные на комплексной прямой в окрестности критического значения функции. Оказывается, что асимптотики этих функций (т. е. асимптотики интегралов) при стремлении уровня к критическому связаны с разнообразными характеристиками исходной критической точки голоморфной функции.
Теория особенностей является обширной и быстро развивающейся областью математики, и мы не стремились затронуть все ее направления.
Список литературы содержит работы, непосредственно связанные с текстом (хотя иногда и не цитируемые в нем), а также работы, связанные с предыдущей книгой, но по тем или иным причинам не вошедшие в ее библиографию.
Авторы благодарны участникам семинара по теории особенностей МГУ, в особенности — А. М. Габриэлову, А. Б. Гивенталю, А. Г. Кушниренко, Д. Б. Фуксу, А. Г. Хованскому. Авторы благодарны также В. С. Варченко и Т. В. Огородниковой, оказавшим большую помощь при подготовке рукописи к печати.
Авторы ГЛАВА I
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ИЗОЛИРОВАННЫХ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ФУНКЦИЙ
Введение
При топологическом исследовании изолированной критической точки комплексно-аналитической функции возникает задача описания топологии ее множества уровня. Топология множества уровня или множества меньших значений гладкой вещественнозначной функции на многообразии может быть исследована при помощи теории Морса (см. [78]). В ней изучаются перестройки множества меньших значений и множества уровня функции при прохождении критического значения. В комплексном случае при прохождении критического значения перестройки множества уровня не происходит, поскольку все неособые множества уровня, близкие к одному критическому, одинаковы как топологические пространства и даже как дифференцируемые многообразия. Комплексным аналогом теории Морса, описывающим топологию множества уровня комплексно-аналитической функции, является теория Пикара —- Леф-шеца (исторически возникшая раньше). В теории Пикара — Леф-шеца основным изучаемым преобразованием является не прохождение критического значения, а обход вокруг него в плоскости С значений функции.
