Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 7

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 160 >> Следующая


Рис. 10.

Рнс. 11.

критические значения Zi (i = 1, 2) с некритическим значением г0 отрезками U1 и ц2. Многообразие уровня {/ = 0} состоит из трех точек X1 = — V~3X, ї, = 0 и X3 = VrSX (см. рис. 11). Легко видеть, что исчезающими (вдоль описанных путей U1 и U2, соединяющих критические значения Z1 и Z2 с некритическим значением 0) циклами являются разности A1 = ]х3]—{хг\ и A2 = -JxJ—[X1] нульмерных классов гомологий, представленных точками X1, X2 и ха. Заметим, что ориентации этих циклов выбираются нами произвольно: любой из них может бытп умножен на (—1).

Для большей наглядности мы выбрали некритическое значение Z0==O. Это предполагает, конечно, специальный выбор области U. В данном месте это не очень существенно, но дальше при определении отмеченных базисов исчезающих циклов в гомологиях неособого многообразия уровня вырожденной особенности в качестве области U будет рассматриваться круг достаточно большого (по сравнению с критическими значениями пошевеленной функции) радиуса. Выбор некритического значения на границе достаточно большого круга диктуется тем, что в противном случае, во-первых, отождествление групп гомологий неособых многообразий уровня особенности и ее шевеления является неоднозначным и, во-вторых, неоднозначным становится порядок, в котором исчезающие циклы должны входить в отмеченный базис. Для «исправления» рассмотренного выше примера можно выбрать некритическое значение Z0, достаточно большое по абсолютной величине ( | Z0 | 2Х V X), соединить его с некритическим значением Z0 = O путем, не проходящим через критические значения функции f, и проследить за изменением неособого многообразия уровня f=z при движении Z вдоль этого пути от Z0 = 0 до Z0. Аналогичное построение в более 16

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ

[ГЛ. I

общем случае мы проделаем позже (п. 2.9). Здесь мы для простоты рассуждений несколько видоизменим пример.

1*) Рассмотрим морсовскую функцию /(jc) = jc3-f- ZXx, где X— положительное число. Критическими точками функции / являются X= — У Xi и X = + YXi, критическими значениями— z1 = —2Xx X VrXi и z2 = 2XVrXi. В качестве области U возьмем круг достаточно большого радиуса г с центром в нуле 2XV X): Рассмотрим два некритических значения функции /: Z0 = O и Z0= г. Критические значения Zli2 соединим с Z0 = O отрезками, идущими по мнимой оси, Z0 = O соединим с z0=z отрезком положительной вещественной полуоси. Тем самым мы получили пути U1 И U2, соединяющие критические значения Zli2 с некритическим значением г0. Как и раньше, нулевое многообразие уровня функции / состоит из трех точек X1 = —У ZXi, X2 = O и Jc3 = +І^ЗАі. Многообразие уровня !/ = ZoJ- близко к многообразию уровня {/о =Zq) функции f0(x) = x3 (поскольку IZ0 ] = г ^>2Х VrX). Поэтому оно состоит из трех точек jc* да ехр (—2яі/3) \/zl, х* да \/zl, х3 да даехр (2яі/3) l/ Zo. Нетрудно видеть, что вдоль отрезка, соединяющего критическое значение Z1 = -2 XVrXi (соответственно z2 = 2XV Xi) с некритическим значением Z0 = O, исчезает цикл {х2\ — Ix1) (соответственно \х3]—{х2}). Далее, очевидно, что при движении некритического значения z по отрезку положительной полуоси ОТ Z0=O к zl = г точки многообразия {/ = z} перемещаются таким образом, что точка х2 остается на вещественной оси, точка X1—в нижней, а точка х2—в верхней полуплоскостях. Поэтому при изменении z от Z0 до zо точки Jcl, Jc2 и Jc3 переходят в точки Jc1, X2 и JC3 соответственно. Следовательно, вдоль описанных путей U1 и и2, соединяющих критические значения Z1 и Z2 функции / с некритическим "значением Zo, исчезают циклы A1 = Ijc2J — {jcj} и A2 = {jc3 } — {xl} соответственно. Легко видеть, что исчезающие циклы A1 и Ai образуют отмеченный набор.

2) В качестве другого примера рассмотрим функцию двух переменных f(x, у) = Jc3—ZXxjr У2 (X—малое положительное число). Эта функция является шевелением функции /0(х, у) = х3 +у2, также имеющей особенность типа A2 в смысле ОДО-І. Функция /

имеет те же критические значения Z1 = —2XVrX и za = 2Х Vr X, что и функция из первого примера. Эти значения принимаются в точках (VrX, 0) и (-VrX, 0) соответственно. Соединим критические значения Z1 и Z2 с некритическим значением Z0 = O отрезками U1 и и2 вещественной оси. Нулевое многообразие уровня функции / (комплексная кривая {/ = 0}) является графиком двузначной функции у =V — X3-{-ZXx и поэтому является двулистным разветвленным накрытием плоскости комплексной переменной JC, ветвящимся в точках JCx = —VrZX, X2 = O и X3 = VrZX. Оно может быть полу- §1] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА

22

чено из двух экземпляров плоскости комплексной переменной X с разрезами от точки X1 до точки X2 и от точки X3 до бесконечности (см. рис. 12), склеенных крест-накрест вдоль этих разрезов. При изменении Z ВДОЛЬ вещественной OCHOTZ1 = '—2Я А, до г2 = 2ХУх многообразие [f = z] дефор- А У

мируется. Изменение точек X1 = X1(Z), I

X2 = X2(Z) и X3 = Xa(Z) ветвления этого ^ " X3 ^u

многообразия как двулистного накрытия ^

над плоскостью комплексной переменной л показано на рис. 13. Из него видно, что исчезающими циклами, соответствующими критическим значениям Z1 = —2Х У X и Z2 = и описанным путям U1 и г^2, соединяющим их с не-
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed