Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА
11
мологии считаются с коэффициентами в группе Z целых чисел, если специально не оговорено противное.
Пусть С"—п-мерное комплексное векторное пространство с координатами Xj = Uf-^ivj- (/==1, ..., п; Uf и Vf вещественны). Пространство Ce^ IR2", рассматриваемое как 2п-мерное вещественное векторное пространство, имеет выделенную ориентацию, которую мы будем называть комплексной. Эта ориентация определяется тем, что положительно ориентированной системой координат в пространстве IR2n объявляется U1, V1, и2, V2, >.., ип, vn. Комплексные многообразия будут рассматриваться с их комплексной ориентацией, если специально не оговорено противное. При таком выборе ориентации индекс пересечения комплексных подмногообразий всегда неотрицателен.
§ 1. Элементы теории Пикара—Лефшеца
В этом параграфе определяются такие понятия теории Пикара—Лефшеца, как исчезающие циклы, операторы монодромии и вариации, операторы Пикара—Лефшеца,... Как уже говорилось, они используются при исследовании топологии критических точек голоморфных функций.
1.1. Операторы монодромии и вариации. Пусть /: Mn—— голоморфная функция на n-мерном комплексном многообразии М", имеющем гладкий край дМп (в вещественном смысле), U — некоторая стягиваемая компактная область в плоскости С с гладкой границей dU. Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
1° для некоторой окрестности U' области U ограничение f на прообраз U' является собственным отображением /-1(?/')—^U', т. е. отображением, при котором прообраз любого компактного множества компактен;
2° ограничение f на dNln{\f~l (U') является регулярным отображением на U', т. е. отображением, дифференциал которого эпиморфен;
3° функция / имеет на прообразе f~l(U') области U' конечное число критических точек Pi (i = 1, .. ., (х) с критическими значениями z( = /(p(.), лежащими внутри области U, т. е. в U—dU.
Из условия 2° следует, что ограничение функции f на дМ" П П ^1(U) определяет локально тривиальное, а следовательно (поскольку область U предполагается стягиваемой), и тривиальное расслоение дМ" П/-1 (U)—>U. Структура прямого произведения в пространстве этого расслоения единственна с точностью до гомотопии. Кроме того, ограничение функции f на прообраз /-1 (U — [z{]) множества некритических значений является локально тривиальным расслоением.
Будем обозначать через Fz (z ? U) множество уровня функции / (fr2 = f~1(z))- Если z?U—некритическое значение функции /, 12
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
то соответствующее множество уровня Fz является компактным (п—1)-мерным комплексным многообразием с гладким краем dFz = Fz п дМ.п. Зафиксируем некритическое значение Z0, принадлежащее границе дії области U. Пусть у—некоторая петля в дополнении к множеству критических значений U — {zt j і = 1, . . ., ja} с началом и концом в точке Z0 (у: [0, 1]—і-U — {z,-}, у (O) = = Y(I) = Z0). (Не ограничивая общности, можно считать, что все встречающиеся петли и пути являются кусочно гладкими.) Обход вдоль петли у порождает непрерывное семейство отображений Fzo—і-Mn (понятие гомотопии), для которого Г0—тождественное отображение многообразия уровня Fza в себя, f (I1t (*)) = у (t), т. е. отображение rt переводит многообразие уровня F2o в многообразие уровня Fy(t). Гомотопия Tt может быть (и будет) выбрана согласованной со структурой прямого произведения на дМп П П/-1(і/)*). В этом случае отображение Av = T1: FZo~>-FZo тождественно на краю dFZa многообразия уровня FZo. Оно определено однозначно с точностью до (неподвижной по краю SF2J гомотопии классом петли у в фундаментальной группе лг (U— [Zi), Z0) дополнения к множеству критических значений.
Определение. Преобразование Av неособого множества уровня Fza в себя называется монодромией петли 7. Действие Av, преобразования Av в гомологиях неособого множества уровня Н№ (F2a) называется оператором монодромии петли у.
Оператор монодромии однозначно определен классом петли у в фундаментальной группе дополнения к множеству критических значений.
Мы будем рассматривать также автоморфизм h^l индуцированный преобразованием Av в группе относительных гомологий Htt (FZa, dFZa) неособого множества уровня по модулю края. Во введении к этой главе мы вместо группы относительных гомологий Я, (Fza, dFZa) пользовались группой Щамк (Va) гомологий с замкнутыми носителями (в соответствии с изоморфизмом Я„ (Fz , dFz ) ^ ^ Hl^ (Fz-dF J).
Пусть о—относительный цикл в паре (FZo, dFZa). Поскольку преобразование Av тождественно на краю dFZa многообразия уровня F2a, граница цикла AvS совпадает с границей цикла б. Поэтому разность AvS—б является абсолютным циклом в многообразии F2o. Нетрудно видеть, что соответствие б»—>AV6—б задает корректно определенный гомоморфизм varv: Я„(/72о, dFZi)—Я„ (FzJ.
Определение. Гомоморфизм varv: H№(FZa, dF2a)—^H, (F2a) называется оператором вариации петли у.
Нетрудно видеть, что автоморфизмы Av* и A^i связаны с оператором вариации соотношениями Avs = Id-^varv-Is,, AvJ = id +
*) На самом деле в качестве (Fi) может быть выбрано семейство диффеоморфизмов F2o—j- Ff (/), но это нам в дальнейшем не понадобится. §1]
