Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г. Приведем примеры симплектических структур "4?2-1 на базах версальных деформаций. Такие примеры известны для ростков функций двух переменных, имеющих простые критические точки.
Среди простых критических точек функций четного числа переменных невырожденные формы пересечений в исчезающих гомологиях имеют критические точки типов A2k, Ee,fEg; формы пересечений критических точек типов D2k+1, k ^ E1 имеют одномерное ядро; формы пересечений критических точек типов D2k, имеют двумерное ядро.
Объясним, как вычислить симплектическую структуру Ч™ для ростков функций двух переменных, имеющих критические точки типов A2k, Ев, Еа, а затем приведем результаты вычисле-
ний для критических точек малых кратностей. Пусть
F = f(x, У) + К + Ч>2(х, УЖ+ ¦ ¦ • уЖ
— квазиоднородная версальная деформация ростка f: (С2, 0)— —> (С, 0), имеющего критическую точку одного из типов A2k, E6, Eg. Пусть to = ydx. Согласно примеру А форма со порождает инф. невырожденное отображение периодов Pa. Согласно теореме 8 отвечающая отображению периодов форма пересечений xFco—сим-
плектическая структура на А. Форма 1Fa имеет вид 2 gk t dXk Д
к<1 '
AdXl, где gk, i(X) = <Vd/dkk?0]?, Vd/ал,® k>, <,>—форма пересечений в H1 (Хх, С). Мы представим каждый коэффициент gk,t(X) как вычет подходящего выражения на алгебраической кривой
П = y)?C*\F(x, у, Я) = 0}.
Лемма 1. Для любого X € А\2 естественное вложение слоя Xx расслоения Милнора в алгебраическую кривую Yx индуцирует изоморфизм (ко)гомологий.
Доказательство следует из того, что для квазиоднородного простого ростка f квазиоднородные степени функций {фу} меньше квазиоднородной степени ростка f.
Согласно лемме 1 коэффициент gkti(X) можно вычислить как индекс пересечения классов когомологий на Yx, которые изоморфны классам 1?,.
Согласно формулам (3), (4) на стр. 209 указанные классы когомологий на Yx представляются формами % = фй dx /\dy/dXt yF, со, = ф ldx/\dy/dXtyF соответственно. Чтобы вычислить индекс пересечения в Hx (Yx, С) классов когомологий форм' сой, а>г, нужно одну из них изменить на дифференциал функции так, чтобы она стала формой с компактным носителем, затем формы нужно пере-
і 316 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
множить и проинтегрировать по
Sk, / (ty = J К—da) Дсог = — J daДсог Yx Ух
(второе равенство справедливо, поскольку формы соА, (S)1 голоморфны).
Воспользовавшись формулой Стокса, получаем правило для вычисления коэффициента g"fti t (А): на кривой Yx. в окрестности ее единственной бесконечно удаленной точки представим форму сой в виде дифференциала голоморфной функции: соА = da, тогда
Sk, і W = 2то' Resoo [acoj],
где Res00—вычет в бесконечно удаленной точке. Теперь приведем ответы.
а) Пусть f = — у2+X3—росток типа A2, F — f + A1X+X2; тогда
= const dX, AdA2.
б) Пусть f = — у2 + хь—росток типа Ai, F = / + A1X3 + A2X2 + + Я3х+ A4; тогда
1F0, = const [dXJ1 Д dA4 + 3dX2 Д dXs + A1 dX1 AdX2J.
в) Пусть f = — у2+х'—росток типа Ав, F = f + A1X5 + A2X4 + + A3X3 + A4X2 + А,5х + Ae; тогда
1Fffl = const [SdX1 д dXe—9A1 d7H Д dXA +
+6A2 dXi A dX3 + (A3 -f- ЗА2) dX, Д dX2 + 5dX2 Д dX, +
+ 5Ai dX2 A dX3 + ISdA3 Д c&4],
г) Пусть f = —г/3+X4—росток типа Ea, F =—z/3 + x4 +Ахх2у+ + X2 ху + А3г/ + XiX2 + Х5х + Ae, тогда
1Fffl = const [—3dAf A dXs + [(5/9) Xs1—27Я4] JA1 AdXi +
+ 2A2 dX, A dX3—A1A2 dX1 Д dX2 — (15/2) dA2 Д dA5 + 15dX3 AdXi].
Д. Пусть f: (€", 0)—>-(С, 0)—росток голоморфной функции в критической точке кратности р,, F—представитель версальной деформации, cog Qn"1—форма, определяющая невырожденное отображение периодов T3ffl для некоторого k. Пусть форма пересечений в Яп_1 (Хх, €) невырождена и, следовательно, на Tik (Л\Е) определена невырожденная форма Tffl. Предположим, что f, F, со вещественны на вещественных частях областей определения. Обсудим, в какой степени вещественна форма 1Fffl на вещественной части своей области определения, т. е. на Г» (Rli Г) (Л\2)).
Теорема 9. В сделанных предположениях форма пересечений 1F^ на T4 (Rli П (Л\2)) принимает только вещественные значения, если п нечетно, и принимает только чисто мнимые значения, если п четно. § 15] отображение периодов и форма пересечений
317
Доказательство. Пусть f|R„, F |(R-XRl»)n(BxA),
СО [г, ((RnxR^n(SXA)) вещественны. Пусть Я принадлежит Rm- Л (А\2). Отображение dP% переводит Tx (Rm-) в р,-мерное вещественное подпространство (Hr) в Яге-1 (хх, С). Нужно выяснить, какие значения принимает форма пересечений на парах векторов из Hr. Опишем Hr.
Рассмотрим нп~г(хх, IR) как подпространство в нп~1(хх, С). На каждом из этих пространств действует инволюция, индуцированная комплексным сопряжением: (х, Х)і—>(х, Я), где (х, X) ? Xx-Разложим пространство Нп~1(Хх, IR) в прямую сумму подпространств, составленных соответственно из инвариантных и антииН-вариантных классов когомологий:
н"~1(хх, к) = /фл. Лемма 2. Hr = /фіЛ, где i2 = — 1.
Доказательство легко следует из того, что классы когомологий {уд/дх представляются на xx голоморфными формами, вещественными на вещественной части многообразия Xx.
