Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 6. 1. Для любых 0, cogQ"-1 ядерное отображение Ka голоморфно на Л\2 и мероморфно на Л. Если k = 0, то ядерное отображение голоморфно продолжается на А. § 15] отображение периодов и форма пересечений
313
2. Если отображение периодов Pa невырождено, то ядерное отображение имеет максимальный ранг на Л\2 в окрестности начала координат. Более того, касательные плоскости к слоям ядерного отображения совпадают с плоскостями распределения Imt
Доказательство. П.1 — прямое следствие теорем 10.4, 10.7. Первая часть п. 2—прямое следствие невырожденности отображения периодов. Для доказательства второй части достаточно заметить, что вектор g ? Tt, % (Л\2) принадлежит Im^ (X) тогда и только тогда, когда <.dP%(B,), а> = 0 для любого класса гомологий а ? Нп_х (Xju С), принадлежащего ядру формы пересечений, т. е. тогда и только тогда, когда <.dhy, ?> = 0 для любого у ? Ker. Теорема доказана.
Следствие теоремы 3. Ядерное отображение Ka и форма пересечений 1F^ на его слоях, отвечающие инф. невырожденному Pa, устойчивы, т. е. пары K^, 4F^ для всех форм rj, близких к со, переходят в пару Ka, Wa при подходящем голоморфном диффеоморфизме пары Л, S в себя. Если f—квазиоднородный росток, то пара Ka, "4?, отвечающая инф. невырожденному Pa, определена инвариантно с точностью до диффеоморфизма пары Л, 2 в себя.
Если число п аргументов ростка f равно двум, теорема 13.3 о смешанной структуре Ходжа позволяет доказать невырожденность продолжения на Л ядерного отображения К%Г°.
Теорема 7. Если п = 2, k = 0 и Pa—инф. невырожденное отображение периодов, то ядерное отображение K0a голоморфно продолжается на 2 до отображения с максимальным рангом.
Доказательство. Необходимо проверить, что дифференциалы функций {hy}y6 кег в начале координат в Л образуют пространство размерности, равной размерности ядра формы пересечений в гомологиях. Для этого достаточно проверить то же самое на оси X1, проходящей через начало координат в Л. Пусть у ^ Кег, тогда
- dhy = 2 <VdidkfPet, уУ dXj.
Над осью X1 сечение Vdidx-Pa является геометрическим сечением подходящей 2-формы (см. формулы (3), (4) на стр. 209). Теперь утверждение теоремы легко следует из утверждения в) в п. 14.2.А и инф. невырожденности отображения Pa (см. также лемму 2.4 в [22]).
Рассмотрим произвольный слой ядерного отображения К%, отвечающего невырожденному отображению периодов Pa. В касательном расслоении к слою определена невырожденная форма пересечений Wa. Если число п аргументов ростка f четно, то форма пересечений 1F^j является на слое голоморфной симплекти-ческой структурой. Действительно, эта форма невырождена, косо-симметрична и индуцирована голоморфным отображением из постоянной формы, в частности, замкнута. При нечетном п форма 314 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
пересечений 1Fji=, — (комплексная) голоморфная метрика на слое с нулевой кривизной (в связности, сохраняющей метрику и индуцированной из связности Гаусса—Манина).
Д. Невырожденная форма пересечений. Рассмотрим подробнее случай, когда форма пересечений в Hn_i (Хх, С) невырождена. В этом случае для невырожденного отображения P^ форма пересечений определена на всем касательном расслоении
Теорема 8 (см. [27]). 1. Если п четно, k = л/2 — 1 и форма пересечений 4F^ отвечает инф. невырожденному отображению периодов Р%, то она продолжается до симплектической структуры на А.
2. Если п нечетно, k=(n—1)/2 и форма отвечает инф. невырооюденному отображению периодов Р%, то задаваемый ею изоморфизм Т* (Л\2) —^ Tlt (Л\2) определяет изоморфизм € \Х\-модулей ростков в начале координат в Л дифференциальных 1 -форм и векторных полей, касающихся 2.
Для доказательства теоремы достаточно проверить соответствующие утверждения около неособых точек дискриминанта, см. [27].
15.2. Примеры. А. Пусть f: (С", 0)—>-(€, 0)—квазиоднородный росток; (P1==I, ф2, ..., фи—набор одночленов, проектирующихся в базис над € локальной алгебры € {x\/(df/dx);
F (х, ц = / (X)+X1+Vp2 (ж) +... + Vb (*); со=X1 dx2 Д ... Л Cixli..
Тогда Paj—инф. невырожденное отображение периодов. Действительно, согласно формулам (Я), (4) на стр. 209 над осью X1, проходящей через начало координат, сечения {Va/aa.^«»}* / = 1> • - •» Р» представляются формами {—фу dxt д ... /\dxjdf). Теперь утверждение следует из теоремы 13.6.
Б. См. [123, 27]. Пусть.f = x»+1, р>1,
F(x, X) = + Vі-1 + ... + V+i-
Мы намеренно изменили принятую выше нумерацию параметров деформации: здесь индекс і параметра Xi пропорционален его квазиоднородной степени. Выберем и> = х. Ниже приведена формула для компонент gk, і, k, I = 2, ..., р+1, формы пересечений Фа в кокасательном расслоении. Положим Xb= 1, Xi = O при I = 1, *'<0 или і > р 4- 1. Тогда
8k, t= X (t-/)My + [ 1 -min(k, I) + <*"10J Xfe,, Xt_i.
і max (ft, /) i+/=fe+f-2
В. В случае простых ростков функций нечетного числа переменных, принадлежащих классам Dix и Ei, формулы для метрики I
§ 15] отображение периодов и форма пересечений 315
ф<п-1)/а на кокасательном расслоении, отвечающей квазиоднородной форме const- xxdx2f\ ... [\dxn, приведены в [43] на стр. 14.
