Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Закончим доказательство теоремы. Инволюция о комплексного сопряжения меняет ориентацию на Xx, если п четно, и не меняет ориентации при нечетном п. Поэтому <•, •> = — <<ь, если п четно, <•, •> = <<**, ог->, если п нечетно. Из этих формул легко следует, что при четном п ограничение формы пересечений на каждое из подпространств I, А равно нулю, а при п нечетном классы когомологий из разных 'подпространств /, А не пересекаются. Теорема доказана.
Е. Приведем примеры ядерных отображений Ka-Пусть f = — у2 + х4—росток типа A3,
F = — yz+ X4+ X1Xz+ Х2х+ X3, co = ydx.
В этом случае ядро формы пересечений в H1 (хх, С) одномерно. К% = const X2.
Пусть f = — у2 + ха—росток типа A5,
F = — у2+X6 + X1Xi+ X2X3+ X3X2+ XiX+ Xi, со = у dx.
Ядро формы пересечений одномерно. Ka = const • (Я., + Ю-
Пусть ! = — у2 +Xs—росток типа A7, F, со аналогичны предыдущим. Тогда K0a = const (Я4—Х2Хг/2). Пусть f = — у3 + X3—росток типа D4,
F = — у3 +X3+ X1Xy + Х2у + Х3х + Я4, <o = ydx.
В этом случае ядро формы пересечений двумерно. С точностью до линейного преобразования образа ядерное отображение К% имеет вид (At, Я2, Xi, Я4) і (Xa, Ag). 18 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
15.3. Ограничение симплектической структуры в базе версальной деформации на страт дискриминанта содержит информацию о вырождениях над стратом. Предположим, что число п переменных ростка f четно и форма пересечений в Hп_л (Хк, С) невырождена (в частности, р четно). В этом случае форма пересечений 1IfM2-1 (Ддя инф. невырожденного отображения периодов П72"1) задает симплектическую структуру на Л. Разобьем дискриминант 2 на страты в соответствии с типами вырождений нулевого уровня Xx-
Принцип. Типы вырождений нулевого уровня отражены в лагранжевых свойствах стратов дискриминанта относительно симплектической структуры xF^2-1 (см. [27]).
Проиллюстрируем принцип на примерах.
Пусть точке IgE соответствует многообразие Х% с ровно р/2 невырожденными особыми точками. Циклы, исчезающие в этих точках, не пересекаются, поэтому порожденное ими подпространство в пространстве гомологий неособого слоя лагранжево. Оказывается, что такие X образуют в Л лагранжево подмногообразие относительно симплектической структуры 1Fa2-1. Более точно, положим
^o = {X Є 2 I X имеет р/2 особыхточек, причем все они невырождены}.
Теорема 10 (см. [27]). 20—лагранжево подмногообразие сим-плектического пространства (Л, 4F^2-1).
Примеры 1. Среди критических точек ростков функций двух переменных невырожденную форму пересечений имеют критические точки, у которых ростки кривой критического уровня неприводимы. В этом случае, деформируя кривую критического уровня, нетрудно убедиться, что многообразие 20 не пусто.
2. Для ростков типа A9h многообразие 20 изоморфно подмногообразию в пространстве іB2k+1 многочленов вида
+V*"1 + ...+X2k.,,
состоящему из многочленов с k корнями кратности 2. Можно показать, что подмногообразие этого же пространства, состоящее из многочленов с корнем кратности А+1, является лагранжевым в некоторой другой симплектической структуре (в линейном пространстве бинарных форм нечетной степени имеется ровно одна (с точностью до множителя) ненулевая 51,2-инвариантная внешняя 2-форма, это и есть другая симплектическая структура; см. [42]).
Теорема 11 (см. [27]). Два аффинных алгебраических многообразия в В2к+1
S1 = {P2k+1 е в**+* I P2k+1 = (x-a)*+*Pk, а 6 С,'Pk € В*\
Z2 = {P2k+l?B^\P2k+1 = {x-a)'P%, аgС, Pfe В*} изоморфны. § 15] отображение периодов и форма пересечений
319
Теорема 11 доказывается предъявлением явной формулы автоморфизма пространства ?zk+1, переводящего одно многообразие в другое.
Доказательство те'оре*мы 10. Согласно теореме Тессье [224] 20 есть трансверсальное пересечение р,/2 неосоэых листов дискриминанта 2 и, следовательно, является неособым многообразием размерности ц/2.
Обозначим через W окрестность точки X0 g 20 в многообразии 2а. Положим R+ = {f€#-| U = R+xW = {X = K1 + te1\K1^W,
t?R+, Єї — орт оси A1 в Л} (мы фиксируем линейную структуру в Л).
Пусть Y1, ..., Yiva — циклы, исчезающие при t—Тогда плоскость <YX, ..., Vn/2> В Я„_1(Хл, €), k?U\W, лагранжева. Дополним {y/I циклами [б,} до симплектического базиса в Нп-х(Х%,С). Согласно лемме 12.2
Vi б?
где ф,- фї, (р-—аналитические функции координат (i, А1) на U. Поэтому отображение периодов Pa 2-1 задает семейство pt голоморфных отображений подмногообразия W в Hn'1 (Хх, С), непрерывно
зависящее от параметра t^R+, при этом p0(W) |<7l.....—
Последнее означает, что ограничение формы пересечений < , > в Hn'1 (Хх, €) на P0(W) нулевое. Так как форма Ч^2-1 анали-тична в Л, имеем
1F;
я/2-
= Iim yHnJ2'
w t-* о
= Hmpt <•, -> = Ро <•> -> = 0.
W + te, іч- 0
Теорема доказана.
Сформулируем теорему, обобщающую теорему 10 и доказывающуюся аналогично.
Пусть f1? . . ., \k\ (€", 0) —>- (€, 0) — ростки голоморфных функций с конечнократными критическими точками. В базе Л версальной деформации ростка f: (€", 0) —>- (С, 0) выделим неособое подмногообразие Sf1.....fk, состоящее из всех точек А б 2, для которых F (•, А) имеет k критических точек X1(K), ..., хк(Х), эквивалентных критическим точкам ростков fx, .. ., fk, соответственно.
