Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
60
ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Теорема. Преобразование Лежандра инволютивно, т. е. его квадрат равен тождественному преобразованию: если f при преобразовании Лежандра переходит в gt то преобразование Лежандра от g будет снова f.
Доказательство. Чтобы сделать преобразование Лежандра функции g переменного р, мы должны, по определению, рассмотреть новое независимое переменное (обозначим его через х), составить функцию
G (х, р) = хр — g (р),
найти точку р (х), в которой G имеет максимум:
-ц- = 0, т. е. g' (р) = х,
и тогда преобразованием Лежандра равная G (х, р (х)).
Докажем, что G (х, р (х)) = / (х). G (х, р) = хр — g (р) имеет простой
g (р) будет функция ОТ X,
С этой целью заметим, что геометрический смысл: это ордината касательной к графику f(x), имеющей наклон р, при абсциссе х (рис. 45). Действительно, при фиксированном р функция G (х, р) есть линейная функция от х, причем dGldx = р, и при х = х (р) имеем G (х, р) = хр — g (р) = / (х) по определению g (р).
Зафиксируем теперь х = X0 и будем менять р. Тогда значения G (х, р) будут ординатами точек пересечения прямой X = X0 с касательными к графику / (х), имеющими разный наклон р. Из выпуклости графика следует, что все эти касательные лежат ниже кривой, а потому максимум G (х, р) при фиксированном X (р0) равен / (х) (и достигается при р = р (х0) = f (х0)), ч. т. д. Следствие*). Пусть дано семейство прямых у = рх —
— g (р). Тогда огибающая имеет уравнение у = / (х), где / — преобразование Лежандра функции g.
Г. Неравенство Юнга.
Определение. Две функции /, g, являющиеся преобразованиями Лежандра друг друга, называются двойственными по Юнгу.
По определению преобразования Лежандра, F (х, р) = рх —
— / (х) ^ ё (р) ПРИ любых х, р. Отсюда вытекает неравенство Юнга
px^f(x) + g (р).
Рис. 45. Инволютив-ность преобразования Лежандра
*) Легко усмотреть, что это — теория «уравнения Клеро».
§ 15. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
6t
Jp
Пример 1. Если / (я) = -у- , то g (р) = -g- , и мы получаем извест-
ят2 ра
ное неравенство рх <^ -f- -^- для всех х, р.
ха рр
Пример 2. Если / (х) = —— , то g (р) =
получаем неравенство Юнга
? ' а
для всех х> 0, р > 0, а> 1, р> 1, — + -у =1.
= 1.
Д. Случай многих переменных. Пусть теперь / (ас) — выпуклая функция векторного переменного ас = (X1, . . ., Xn) (т. е. квадратичная форма {^xT dx, dx^j положительно определена). Тогда
преобразованием Лежандра называется функция g (р) векторного переменного р = qp1, . . ., рп), определенная аналогичными предыдущим равенствами
g (p) = F (р, X (р)) = max F (р, х), F (р, х) = (р, х) — / (ас),
р =
df
Все предыдущие рассуждения, в том числе неравенство Юнга, без изменений переносятся на этот случай.
Задача. Пусть /: Ru -»- R —выпуклая функция в линейном пространстве R". Обозначим через R"* сопряженное линейное пространство. Покажите, что предыдущие формулы задают вполне определенное отображение g: Rn* —*¦ R (при условии, что линейная форма df |» пробегает все пространство R"*, когда ас пробегает R").
Задача. Пусть / — квадратичная форма: / (ас) = 2 fIjX1Xj. Показать, что ее преобразование Лежандра есть снова квадратичная форма g (р) =^?ijPiPj, причем значения обеих форм в соответствующих точках совпадают (рис. 46):
f(x(p)) = g(p), g(p(x))=f(x).
Рис. 46. Преобразование Лежандра квадратичной формы
§ 15. Уравнения Гамильтона
После преобразования Лежандра лагранжева система дифференциальных уравнений второго порядка переходит в замечательно симметричную систему 2п уравнений первого порядка — систему уравнений Гамильтона (или канонических уравнений).
€2
ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
А. Эквивалентность уравнений Лагранжа и Гамильтона. Рассмотрим систему уравнений Лагранжа р = dLldq, где р = dLldq, заданную функцией Лагранжа L: R" X R" X R R, которую мы предположим выпуклой *) относительно второго аргумента q.
Теорема. Система уравнений Лагранжа эквивалентна системе 2п уравнений первого порядка — уравнений Гамильтона:
дН . дН
Р = --7йГ' ff =
dq ' * — др '
где H (р, q, t) = pq — L (q, q, t) есть преобразование Лежандра функции Лагранжа, рассматриваемой как функция от q.
Доказательство. По определению, преобразование Лежандра L (q, q, t) по десть функцияH(р) = pq — L (q), в которой q выражено через р по формуле р ~ dLldq, и которая зависит еще от параметров q, t. Эта функция H называется функцией Гамильтона.
Полный дифференциал функции Гамильтона
равен полному дифференциалу pq — L прир dH =q dp — -—- dq — ~- dt.
dL dq
Оба выражения для dH должны совпадать. Поэтому
. _ дН дН____dL_ дН_____dL_
q ~ dp ' dq ~ dq ' dt ~ dt '
Принимая во внимание уравнение Лагранжа р = dLldq, получаем уравнения Гамильтона.
Итак, если q (t) удовлетворяет уравнениям Лагранжа, то (Р (<0> ff W) удовлетворяет уравнениям Гамильтона. Обратное доказывается аналогичным образом. Итак, системы Лагранжа и Гамильтона эквивалентны, ч. т. д.
