Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
**) Смит Дж. Математические идеи в биологии.— M.: Мир, 1970.
§ 11. СООБРАЖЕНИЯ ПОДОБИЯ
51
ской энергии переходят в тепло; теплоотдача же пропорциональна поверхности тела, т. е. L2, значит, и полезная мощность пропорциональна L2).
Сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату скорости и площади поперечного сечения; затрачиваемая на ее преодоление мощность пропорциональна поэтому iPL2v. Итак, i?L2 <-~ L2, следовательно, v — L0. И действительно, скорость бега по ровному месту у животных не мельче зайца и не крупнее лошади практически не зависит от размер особи.
Для бега в гору необходима мощность mgv ~ L3v; поскольау развиваемая мощность ~Z/2, находим v — IrK И действительно, собак легко взбегает на холм, а лошадь замедляет шаг.
Задача.*). Как зависит от размеров животного высота прыжка?"
Ответ. —L0.
Решешение. Нужная для прыжка на высоту h энергия пропорциональна Lsh, а совершаемая силой мышц F работа пропорциональна FL. Сила F пропорциональна L2 (так как прочность костей пропорциональна площади их сечения). Итак, Lah ~ L2L, т. е. высота прыжка не зависит от размеров животного. И действительно, тушканчик и кенгуру прыгают примерно на одинаковую высоту.
*) См. сноску ** на с. 50.
ЧАСТЬ II ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
Лагранжева механика описывает движение механической системы при помощи конфигурационного пространства. Конфигурационное пространство механической системы имеет структуру дифференцируемого многообразия. На дифференцируемом многообразии действует группа диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы лагранжевой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных координат) инвариантны относительно этой группы *).
Лагранжева механическая система задается многообразием («конфигурационным пространством») и функцией на его касательном расслоении («функцией Лагранжа»).
Каждая однопараметрическая группа диффеоморфизмов конфигурационного пространства, оставляющая неизменной функцию Лагранжа, определяет закон сохранения (т. е. первый интеграл уравнений движения).
Ньютонова потенциальная система — частный случай лагранжевой (конфигурационное пространство в этом случае евклидово, а функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциаль-вой энергий).
Лагранжева точка зрения позволяет исследовать до конца ряд важных задач механики, например, в теории малых колебаний и в динамике твердого тела.
ГЛАВА 3 ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
В этой главе показано, что движения ньютоновой потенциаль--ной системы являются экстремалями вариационного принципа, так называемого «принципа наименьшего действия Гамильтона».
Из этого факта вытекает много важных следствий, например способ быстро писать уравнения движения в криволинейных системах координат, а также ряд качественных выводов, например теорема о возвращении в окрестность начальной точки.
В этой главе используется координатное тг-мерное пространство. Вектор такого пространства ас есть набор чисел (X1, . . ., хп). Соответственно dfldx означает (OfIOx1,..., df/dxn), (а, Ь) = 0,Jb1+ .. •
... I @rtfin'
*) И даже относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время.
§ 12. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
53
§ 12. Вариационное исчисление
Для дальнейшего нам потребуются некоторые сведения из вариационного исчисления. Более подробное изложение см., например, в учебниках M- А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника «Курс вариационного исчисления» (M.: ГОНТИ, 1938) или Г. Е. Шилова «Математический анализ. Специальный курс» (M.: Физматгиз, 1961).
Вариационное исчисление занимается отысканием экстремумов функций, область определения которых — бесконечномерное пространство: пространство кривых. Такие функции называются функционалами.
Примером функционала является, например, длина кривой на евклидовой плоскости
у = {t, X: X {t) = х; t0 < t < J1}.
(D(Y) =] YT+~?dt. V° 4
t0 Рис. 41. Вариации кривой
<щп4
Xq
Г
-а—
Вообще функционалом называется всякое отображение пространства кривых в числовую ось.
Рассмотрим «близкую» к у кривую у' = {t, х: х — х (t) + -f- h (t)}. Будем обозначать ее у' = у -f- h. Рассмотрим приращение функционала Ф, Ф (у + К) — Ф (у) (рис. 41).
А. Вариации.
Определение. Функционал Ф называется дифференцируемым *), если Ф (у + Zi) — Ф (у) — F -f- R, где F зависит от h линейно (т. е. при фиксированном у F (Zi1 + Zi2) = F (Zi1) + + F (h2), F (cZi) = cF (h)), a R (h, у) = О (/і2) в том смысле, что из I Zi I < е, I dh/dt I <Z є вытекает | R | < Ce2. Линейная часть приращения, F (/і), называется дифференциалом.
Можно доказать, что если функционал Ф дифференцируем, то его дифференциал определен однозначно. Дифференциал функционала называют также его вариацией, a Zi называют вариацией кривой.
Пример. Пусть у = {t, х: х = х (t), t0 <^ t <^ tj} — кривая на плоскости t, х\±= -^-; L = L (а, Ь, с) — дифференцируемая функция трех переменных. Составим функционал:
и
Ф(1>) = I L{x(t),x(t), t)dt. _ *.
*) Следовало бы указать, на каком классе кривых определен функционал Ф и какое линейное пространство пробегает h. Можно считать, напри-*юр, что в обоих случаях речь идет о бесконечно-дифференцируемых функциях.
