Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
{-W)-W = 0' ^eL=T-U.
Доказательство. По предыдущей теореме движение — экстремаль функционала ^ L dt. Следовательно, в любой системе координат удовлетворяется записанное в этой системе координат уравнение Эйлера — Лагранжа, ч. т. д.
Определение. В механике приняты следующие наименования: L (q, q,t) = T — U — функция Лагранжа, лагранжиан, qt —
обобщенные координаты, qt — обобщенные скорости, —— = Pi —
ol *
обобщенные импульсы, 0д — обобщенные силы, ^ L (q, q ,t)dt —
действие, -^- ^ ^ ^--щ— = О — уравнения Лагранжа.
Последняя теорема называется «принципом наименьшего действия в форме Гамильтона» потому, что в некоторых случаях движение q (t) является не только экстремалью, но и доставляет
наименьшее значение функционалу действия § L dt.
и
Б. Простейшие примеры.
Пример 1. Для свободной материальной точки в E3
„ тг2 L = T = —J5- :
в декартовых координатах Qi = Ti находим L= —^- (72+ q\-\-
Здесь обобщенные скорости — компоненты вектора скорости, обобщенные импульсы Pj = mqi — компоненты вектор а количества движения; урав-
йр
нения Лагранжа совпадают с уравнениями Ньютона -^- = 0. Экстремали
являются прямыми линиями. Из принципа Гамильтона следует, что прямые являются не только кратчайшими (т. е. экстремалями длины
». _ «і
J ^Ч*+<?24" <?8^') ' но и екстремалями действия ^ (її+ 4% + Qg)dt.
58 ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
тг
,2
= -f -(г2+г2ф2) и лагранжиан L (g, д) = T(д, д) — U(q), U=U(?).
OL
Обобщенные импульсы будут р = —7J-, т. е.
/J1 = mr, р2 = тг2<р.
Первое уравнение Лагранжа P1 = ~- принимает вид
., au тг = тгу2--—.
Это уравнение мы уже получили в § 8.
Так как q2 = ф не входит в L, имеем -^- = 0. Поэтому второе
уравнение Лагранжа будет = 0» р2 = const. Это — закон сохранения кинетического момента.
В общем случае, когда поле не центральное, U = U (г, ф),
au
находим P2 =--.
d
Это уравнение можно переписать в виде —^- (M, ez) = N,
где N = ([г, F], ez), F =--^7- . (Скорость изменения кинетического момента относительно оси z равна моменту силы F относительно оси 2.)
Действительно, имеем
dU =-^rdr + -~d<f> = - (F,dr) = - (F1 er)dr-r(F, ev) dq>,
поэтому — -~~ = r (F, еф) = r ([er, F], ez) = ([*•, F], ez).
Разобранный пример подсказывает следующее обобщение закона сохранения кинетического момента.
Определение. Координата Q1 называется циклической,
діл
если она не входит в функцию Лагранжа: —— = 0.
Теорема. Обобщенный импульс, соответствующий циклической координате, сохраняется: pt — const.
Доказательство. Согласно уравнению Лагранжа,
dPi dL
Задача. Докажите, чго этот экстремум есть минимум.
Пример 2. Рассмотрим движение в плоском центральном поле в полярных координатах qt = г, q2 = ф. Из соотношения
г = ver + фгрф находим кинетическую энергию T =
S 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА
59
§ 14. Преобразование Лежандра
Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин).
А. Определение. Пусть у = f (х) — выпуклая функция, Г (X) > 0.
Преобразованием Лежандра функции / называется новая функция g нового переменного р, которая строится следующим образом (рис. 43). Нарисуем на плоскости х, у график функции /. Пусть дано число р. Рассмотрим прямую у = рх. Возьмем точку X = X (р), в которой кривая всего дальше от прямой по вертикали: функция рх — / (х) = F (р, х) в точке X (р) имеет максимум по X при фиксированном р; тогда E(P) = F (р, X (р)).
Точка X (р) определяется из условия экстремума: dF/дх = 0, т. е. /' (х) = р. Ввиду выпуклости функции / (х) такая точка х (р) единственна *).
Тогда F (р, х) = рх — X2, X (р) = р/2 ,
H
,fix}
Г'
21
Рис. 43. Преобразование Лежандра
Б. Примеры.
Пример 1. Пусть / (х) = X2.
е (р) = 1Up2-
Пример 2. Пусть / (х) = —J"
Тогда g (р) = -2JJP
Пример 3. 1, Р>1).
Пусть / (х) = -^- . Тогда в (р) ¦¦
P ?
где
I
Пример 4. Пусть / (х) — выпуклая ломаная. Тогда g (р) — тоже выпуклая ломаная, причем вершинам / (х) соответствуют отрезки g (р), а отрезкам / (х) — вершины g (р). Например, угол, изображенный на рис. 44, при преобразовании Лежандра переходит в отрезок.
В. Инволютивность. Будем считать функцию / нужное число раз Дифференцируемой, а /" (х) ^> 0. Легко проверить, что преобразование Лежандра переводит выпуклые функции в выпуклые. Поэтому его можно применить дважды.
Рис. 44. Преобразование Лежандра переводит угол в отрезок
*) Если существует.
Задача. Покажите, что областью определения g может оказаться одна точка, отрезок или луч, если функция / определена на всей оси х. Докажите, что если функция / определена на отрезке, то функция g определена ва всей оси р.
