Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 17

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 195 >> Следующая


10. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ п ТОЧЕК

45

где FtJ — силы взаимодействия, a Fi (i't) — так называемая внешняя сила.

Пример (рис. 39). Разобьем замкнутую систему на две части / и //. Сила F1, приложенная к і-й точке системы /, определяется силами взаимодействия внутри системы / и силами, действующими на і-ю точку со стороны точек системы //, т. е.

Fi — внешняя сила по отношению к рассматриваемой системе I, Б. Закон сохранения импульса.

Определение. Импульсом (или количеством движения) системы называется вектор

п

J?= ^m1V1.

Рис. 39. Внутренние и внешние силы

Теорема. Скорость изменения количества движения системы равна сумме всех внешних сил, действующих на точки системы» Доказательство.

г=1

г, 3

Действительно, 51 Ftj = 0, так как для сил взаимодействия F11 =

г, І \ у

Следствие 1. Количество движения замкнутой системы сохраняется.

Следствия 2. Если сумма внешних сил, действующих на систему, перпендикулярна оси х, то проекция Px количества движения на ось х сохраняется: Px = const.

Определение. Центром инерции системы называется точка

г =

S "Vi

Задача. Доказать, что центр инерции определен корректно, т. е. не зависит от выбора начала отсчета радиусов-векторов.

Количество движения системы равно количеству движения точки, лежащей в центре инерции системы и имеющей массу, равную Sm1-.

46

ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

В самом деле, (SmO** = Б(т{Гг), откуда (2т{)Л = 2т;гг.

Мы можем теперь сформулировать теорему о количестве движения как теорему о движении центра инерции.

Теорема. Центр инерции системы движется так, как если бы все массы были сосредоточены в нем и все силы были приложены к нему.

Доказательство. ^mt) г = Р, поэтому ^mij ^ =

г

Следствие. Если система замкнута, то центр инерции ее движется равномерно и прямолинейно.

В. Закон сохранения кинетического момента.

Определение. Кинетический момент материальной точки относительно точки О есть момент вектора импульса относительно точки О:

M = [г, тпґ].

Кинетическим моментом системы относительно точки О на-зычается сумма кинетических моментов точек системы:

п

M = S Ь'і, тіїі]. j=i

Теорема. Скорость изменения кинетического момента системы равна сумме моментов внешних сил, действующих на точки системы.

Доказательство.

п п

Первое слагаемое равно нулю, а второе, согласно уравнениям Ньютона, равно

2 [гь Fi) = S [rit ( S Fij + Fl)] = 2 Ь, -

Действительно, сумма моментов двух сил взаимодействия равна нулю, ибо

Fa = - FH, [V1, Fi}] + [г,, FH] = [(V1 - rt), Fa) = 0. Поэтому равна нулю сумма моментов всех сил взаимодействия:

S Ь, S Jf«] = о.

Итак, ,., n

—г-=2j ij'ч*т-д'

§ 10. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ п ТОЧЕК

47

Следствиеі. (Закон сохранения кинетического момента.) Если система замкнута, то M = const.

ті ^

Обозначим сумму моментов внешних сил через If = 2 [гг, F1].

m - dM -кт

Тогда по доказанной теореме —= Jx , откуда вытекает

Следствие 2. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то M2 сохраняется. Г. Закон сохранения энергии.

Определение. Кинетической энергией точки массы т называется

Определение. Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий точек:

tl ' п

'-2-ї1-

где mt — массы точек, rt — их скорости.

Теорема. Приращение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы.

Доказательство.

dT

Il Il Ib

^m1 (гг, 7\) = (гг, тгі\) = (i\, F1).

dt _

г=1 г=1 г=1

Поэтому

t п t n

T(I)-T (t0) = J = ? J (гг, F1)Ut = A1, ч. т. д.

to г=1 t„ г=1

Конфигурационное пространство системы п материальных точек в E3 есть прямое произведение п евклидовых пространств: Езп = E3 X ... X E8. Оно имеет само структуру евклидова пространства. Обозначим через г = (T1, . . ., гп) радиус-вектор точки конфигурационного пространства, а через F = (F1, . . ., Fn) — вектор силы. Предыдущую теорему можно записать в виде

пи) t,

T (h) - T (Q = j (F, dr) = j (г, F) dt.

r(to) t.

Иными словами:

Приращение кинетической энергии равно работе Зп-мерной «силы» F на «пути» г (t) в конфигурационном пространстве.

Определение. Система называется потенциальной (или консервативной), если силы зависят только от положения точек

48

ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

системы: F = F (г), и работа F на любом пути зависит только от начальной и конечной точек пути:

M1

I (F^r) = O(M1, M2).

M1

Теорема. Для потенциальности системы необходимо и достаточно, чтобы существовала потенциальная энергия, т. е. такая функция U (г), что

дії

F =

дг

Доказательство. См. § 6, Б.

Теорема. Полная энергия потенциальной системы E = = T + U при движении сохраняется: E (?) = E (t0). Доказательство. По доказанному выше

«•(«•)

T (h) - T (t0) = $ (F, dr) = U (г (tB)) -U (г (А)), ч. т. д.

Пусть все силы, действующие на точки системы, делятся на силы взаимодействия и внешние силы:
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed