Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
g{: (р(0), q (0)) >-> (р (t), q (t)),
где р (t),q (t)— решение системы уравнений Гамильтона (рис. 47). Задача. Доказать, что {g1} — группа.
Рис. 47. Фазовый поток Рис. 48. Сохранение объема
Б. Теорема Лиувилля. 1) Фазовый поток сохраняет объем: для любой области D имеем (рис. 48)
объем g'D = объем D.
Мы докажем несколько более общее предложение 2), также принадлежащее Лиувиллю.
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений X = f (х), X = (X1, . . ., хп), решения которой продолжаются на всю ось времени. Пусть g' — соответствующая группа преобр азов аний:
І (х) = X + f (х) t + О (f2) (t -> 0). (1>
Пусть D (0) — область в пространстве {ас} и v (0) — ее объем; V (t) = объем D (t), D (t) = g'D (0). 2) Если, div / = 0, то g* сохраняет объем: v (t) = v (0).
*) Например, для этого достаточно, чтобы множества уровня функции H были компактны.
66
ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
В. Доказательство.
Лемма 1. Справедливо соотношение
dv I
dt |t=o
D\0)
^ div fdx (dx = Ux1... dxn).
v(t) = J det^\dx.
Доказательство. При любом t по определению якобиана
t
-_х ,, дх
DlO)
Вычисляя dg'x/dx по формуле (1), находим при f-vO:
Воспользуемся теперь известным алгебраическим фактом.
Лемма 2. Для любой матрицы А = || ац || справедливо соотношение
det I E + At I = 1 + t tr А + О (?), t О,
п
где tr А = 5j flii — cied матрицы А (сумма диагональных элемен-moe).
(Доказательство леммы 2 получается непосредственным раскрытием определителя: получается 1, п слагаемых с t, остальные с t2, t3 и т. д.).
Итак,
Но tr = -^- = div f. Поэтому
X j-l хг
v(t)= 5 [1 + tdivf + 0(P)\dx, то)
что и доказывает лемму 1.
Доказательство теоремы 2). Так как t = t0 ничем не хуже f = О, лемму 1 можно записать в виде
И если div / = 0, то и -^- = 0, ч. т. д.
В частности, для системы Гамильтона имеем . д I дН \ . д I дН\ п
S 16. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
67
Теорема Лиувилля 1) доказана.
Задача. Распространить теорему Лиувилля на случай неавтономных систем (H = H (р, д, t) или / = / (а, *))•
Задача. Докажите формулу Лиувилля W = W0e^tTAdt для определителя Вронского линейной системы а> = A (t) ж.
Теорема Лиувилля имеет многочисленные приложения.
Задача. Доказать, что в гамильтоновой системе невозможны асимптотически устойчивое положение равновесия и асимптотически устойчивый предельный цикл в фазовом пространстве.
Особенно важные приложения теорема Лиувилля имеет в ста тистической механике.
Теорема Лиувилля позволяет применять к исследованию механических систем методы так называемой эргодической теории *). Приведу лишь простейший пример.
Г. Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть g — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область D евклидова пространства в себя: gD = D.
Тогда в любой окрестности U любой точки области D найдется точка х ЄЕ U, которая возвращается в область U, т. е. gnx ЄЕ U при некотором п ]> 0.
Эта теорема применима, например, к фазовому потоку gl двумерной системы с растущим на бесконечности потенциалом U (X1, X2); в этом случае инвариантная ограниченная область в фазовом пространстве дается условием (рис. 49)
D = {p,q: T + U< Е).
Рис. 49. Как будет двигаться шарик в несимметричной чашке, неизвестно; однако теорема Пуанкаре предсказывает возвращение в окрестность исходного положения
Теорему Пуанкаре можно усилить, доказав, что почти всякая движущаяся точка многократно возвращается к своему исходному положению. Это—один из немногих общих выводов о характере движения. Детали движения никому не известны уже в случае
.. dU . .
Л,---, Л. — \J,X, J,2).
Несколько парадоксальным выводом из теорем Пуанкаре и Лиувилля является следующее предсказание: если открыть перегородку, разделяющую камеру с газом и камеру с вакуумом, то через некоторое время молекулы газа почти наверное снова соберутся в первой камере (рис. 50).
*) См., например, книгу: X а л м о ш П. Лекции по эргодической теории.— M.: ИЛ, 1959.
68
ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Разгадка парадокса в том, что «некоторое время» больше вре мени существования Солнечной системы.
Доказательство теоремы Пуанкаре. Рассмотрим образы окрестности U (рис. 51):
и, gU, g*U, . . ., gnU, . . . Все они имеют одинаковый положительный объем. Если бы они
Рис. 50. Молекулы вернулись в первую камеру
Рис. 51. Теорема о возвращении
а = 2п— ,то gn ¦
не пересекались, объем D был бы бесконечен. Поэтому при некоторых к > 0, I > 0, к > Z
g*U П № Ф 0.
Следовательно, gk~lU Г) U ф 0. Пусть gR~lx = у, х E= U, у E= U. Тогда X E= U, gnx E=U (п = к — I), что и требовалось доказать. Д. Приложения теоремы Пуанкаре.
Пример 1. Пусть D — окружность, g—поворот на угол а. Если - тождественное преобразование, и теорема очевидна.
Если же а несоизмеримо с 2я, то теорема Пуанкаре дает
V6 > 0, Зп: і gnx — X |< б (рис. 52).
