Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда легко вытекает
Теорема. Если аф2я -^-, то множе-
ство точек вида gkx всюду плотно *) на окруж-Рис. 52. всюду плот- ности (к = 1, 2, . . .).
ное множество на окружности Задача. Докажите, что всякая орбита движения в центральном поле с U = г4 либо замкнута, либо всюду плотно заполняет кольцо между двумя окружностями.
Пример 2. Пусть D — двумерный тор, ф1 и <р2 — угловые координаты на нем (широта и долгота) (рис. 53).
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на
торе
__ фі = Ot1, ф2 = CC2-
*) Множество А всюду плотно в В, если в каждой окрестности каждой точки В есть точка А.
S 16. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
69
Очевидно, div / == 0, и соответствующее движение
8й- <4>и «Pa) («Pi + «і*, <р2 + Ct2I) сохраняет объем dfpjdop^ Из теоремы Пуанкаре легко выводится
Теорема. Если Ci1Ia2 иррационально, то «обмотка» тора g* (Cp1, ф2) всюду плотна на торе.
З а д а ч а. Докажите, что если ш иррационально, то фигура Лиссажу (х = cos t, у = cos Ш) всюду плотна в квадрате | х \ < 1,J у |< 1.
ПримерЗ. Пусть D — n-мерный тор Тп, т. е. прямое произведение *) п окружностей:
D = Si X S1 X ... X S1 = Тп.
п
Точка n-мерного тора задается п угловыми координатами ф = (фх, . . ., фп)' Пусть a = ((X1, . . ., ап), g1 — преобразование, сохраняющее объем
g*: Тп Тп, (jp ф + ой-
Задача. При каких условиях на а всюду плотны: а) траектория #'ф, б) траектория #*ф (і є R принадлежит группе вещественных чисел R, к <= є Z — группе целых чисел).
Преобразования примеров 1—3 тесно связаны с механикой. Но так как теорема Пуанкаре абстрактная, она имеет и не связанные с механикой приложения.
Пример 4. Рассмотрим первые цифры чисел 2n: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4...
Задача. Есть ли в этой последовательности цифра 7? и какая цифра встречается чаще: 7 или 8? И во сколько раз?
*) Прямое произведение множеств А, В, . . . есть множество наборов точек (а, Ь, . . .), а є А, Ъ є В, ....
ГЛАВА 4
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ
В этой главе вводятся понятия дифференцируемого многообразия и касательного расслоения. Функция Лагранжа, заданная на касательном расслоении, определяет на многообразии лагран-жеву «голономную систему». Частными случаями являются системы материальных точек, стесненных голономными связямив например маятник или твердое тело.
§ 17. Голономные связи
В этом параграфе дано определение системы материальных точек, стео-ненной голономными связями.
А. Пример. Пусть Y — гладкая кривая на плоскости. Если в окрестности Y имеется очень сильное силовое поле, направленное к кривой, то движущаяся точка будет все время находиться вблизи Y- В предельном случае бесконечно сильного поля точка
Рис. 54. Связь как Рис. 55. Потенциальная
бесконечно сильное энергия Uk
поле
вынуждена оставаться на кривой y- В этом случае говорят, что на систему наложена связь (рис. 54).
Чтобы дать точную формулировку, введем в окрестности кривой Y криволинейные координаты qt, q2: — вдоль кривой yf 5г — расстояние от кривой.
Рассмотрим систему с потенциальной энергией
Un = NqI + U0 (ft, q2),
зависящей от параметра N (который будет затем стремиться к бесконечности) (рис. 55).
Рассмотрим начальные условия на у:
Qi (0) = д°и Si (0) = gl, gz (0) = 0, (2 (0) =.0.
S 17. ГОЛОНОМНЫЕ СВЯЗИ
71
Обозначим через = <p (t, N) изменение координаты qx при движении с такими начальными условиями в поле U^. Теорема. При N оо существует предел
Hm ф (t, N) = я}5 (t).
jv-»oo
Предельная функция = я]з (t) удовлетворяет уравнению Лагранжа
d і dL* \ dL* dt
где (дг, C1) = Т\ — U0 |qz=o (^ — кинетическая энергия
движения вдоль у).
Таким образом, при N —*¦ оо система уравнений Лагранжа для Q1, q2 порождает уравнение Лагранжа для = яр (?).
Точно такой же результат получится, если рассмотреть вместо плоскости Зп-мерное пространство конфигураций п. точек, состав-
п
ляющих механическую систему, с метрикой ds* = 2 m%dr\ (то4 —
i=l
массы), вместо кривой у — подмногообразие Зп-мерного пространства, вместо — какие-нибудь координаты Q1 на Yi вместо q2 — координаты qz в направлении, перпендикулярном Y- Если потенциальная энергия имеет вид
U = U0 (Q1) + NqI
то при N -V оо движение на Y определяется уравнениями Лагранжа с функцией Лагранжа
Б. Определение системы со связями. Мы не будем доказывать сформулированную теорему *) и не будем ею пользоваться. Она нужна нам лишь для того, чтобы оправдать следующее
Определение. Пусть Y — m-мерная поверхность в Sn-мерном конфигурационном пространстве точек гг, . . ., гп масс Bi1, . . ., топ. Пусть q = (дг, . . ., qm) — какие-нибудь координаты на y: ri = ri (q)- Система, описываемая уравнениями d dL dL т 1 \П .2 , тг, .
-dT-oT^-eV' L=^-2->miri+U(q)'
называется системой п точек, стесненной Sn — m идеальными голономными связями. Поверхность Y называется конфигурационным пространством системы со связями.
