Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 26

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 195 >> Следующая


*) Доказательство основывается на том, что вследствие сохранения энергии движущаяся точка не может удаляться от у на расстояние, большее чем cN~i/z, что стремится к нулю при N —* оо. Определение связей при помощи такого предельного перехода предложено Р. Курантом. См.: Rubin H., Ungar P. Motion under a strong constraining force Il Comm. on the Pure and Applied Math.— 1957.— V. 10, No. 1.— P. 65—87.

72

ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ

Если поверхность Y задается к = Зга — т функционально независимыми уравнениями Z1 (г) = 0, . . ., /fc (г) = 0, то говорят, что система стеснена связями Z1 = 0, . . ., /R = 0.

Голономную связь можно было бы определить и как предельный случай системы с большой потенциальной энергией. Значение этих связей для механики в том, что, как показывает эксперимент, многие механические системы с той или иной точностью относятся к этому классу.

Идеальные голономные связи в дальнейшем для краткости будем называть просто связями. Другие связи в этой книге рассматриваться не будут.

§ 18. Дифференцируемые многообразия

Конфигурационное пространство системы со связями является дифференцируемым многообразием. В этом параграфе приведены простейшие сведения о дифференцируемых многообразиях.

А. Определение дифференцируемого многообразия. На множестве M задана структура дифференцируемого многообразия, если M снабжено конечным или счетным набором карт, так что каждая точка изображена хотя бы на одной карте.

Картой называется открытая область U в евклидовом координатном пространстве q = (gt, . . ., дп) вместе со своим взаим-

но однозначным отображением ф на некоторое подмножество М, ф: ?/ -> ср U CZ М.

Если какая-нибудь точка M имеет изображения на двух картах U, U' сразу, то то же должно быть справедливо для некоторых

окрестностей V, V этой точки на

Рис.[56. Совместные карты КЭЖДОЙ ИЗ Карт (рИС. 56). ТаКИМ

образом, возникает отображение ф'_1ф: V -> V части одной карты V CZ U на часть другой карты V С U'.

Это — отображение области V координатного евклидова пространства q на область V координатного евклидова пространства q', и оно задается п функциями п переменных q' = q' (q), (Q = Q (<?'))• Карты U, U' называются совместными, если эти функции дифференцируемы *).

Атласом называется совокупность совместных друг с другом карт. Два атласа эквивалентны, если их объединение есть снова атлас.

*1 Под дифференцируемостью здесь понимается г-кратная непрерывная дифференцируемость; точное значение г (1 ^ г ^ со) несущественно (можно считать, например, что г = со).

§ 18. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

73

Дифференцируемое многообразие есть класс эквивалентности атласов. Мы будем рассматривать только связные многообразия *). Тогда число п для всех карт одно и то же — оно называется размерностью многообразия.

Окрестностью точки многообразия называется образ при отображении <р: U M окрестности изображения этой точки на карте U. Мы будем предполагать, что у каждых двух разных точек многообразия есть непересекающиеся окрестности.

Б. Примеры.

Пример 1. Евклидово пространство Rn есть многообразие, атлас которого состоит из единственной карты.

Пример 2. Сфера S2 = {(х, у, z): х2 + у2 + z2 = 1} имеет структуру многообразия, атлас которого состоит, например, пз двух карт (Ui, ф(, і = = 1, 2) в стереографической проекции (рис. 57). Аналогичная конструкция годится и для n-мерной сферы

S» = {(X1, .. ., x11+1): Ъх\ = 1}.

Пример 3. Рассмотрим плоский маятник. Конфигурационное пространство — окружность S1 — есть многообразие. Обычный атлас доставляется угловой координатой ф: R1 —» S1, U1 = (—я, я), U2 = (0, 2я) (рис. 58).

Рис. 57. Атлас сферы Рис. 58. Плоский, сферический и двойной

плоский маятники

Пример 4. Конфигурационное пространство «сферического» математп-тического маятника есть двумерная сфера S2 (рис. 58).

Пример 5. Конфигурационное пространство «плоского двойного маятника» есть прямое произведение двух окружностей, т. е. двумерный тор T2 = = S1 X S1 (рис 58).

Пример 6. Конфигурационное пространство сферического двойного маятника есть прямое произведение двух сфер S2 X S2.

Лг



9,

Рис. 59. Конфигурационное пространство отрезка на плоскости

Рис. 60. Конфигурационное пространство треугольника

Пример 7. Жесткий отрезок на плоскости ^1, д2 имеет конфигурационным пространством многообразие R'x S1 с координатами д1; g2, д3 (рис. 59).

Оно покрывается двумя картами.

*) Многообразие связно, если его нельзя разбить на два непересекающиеся открытые подмногообразия.

74

ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ

Пример 8. Жесткий прямоугольный треугольник OAB, вращающийся вокруг вершины О. Положение треугольника задается тремя числами. Действительно, направление OA є S2 задается двумя числами, а если OA задано, можно еще вращать OB є S1 вокруг оси OA (рис. 60).

С положением треугольника OAB можно связать ортонормированный

°А OB , , „

правый репер е% = J J •, ег = j | , е3 = Ie1, е2]. Соответствие взаимно
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed