Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Fi= Fa+К
ІФЗ
где F11 = —Fn = fuei}.
Утверждение. Если силы взаимодействия зависят только от расстояний, ftl = fiS (| rt — rj | ), то они потенциальны.
Доказательство. Если система состоит всего из двух точек i, j, то, как легко проверить, потенциальная энергия взаимодействия дается формулой
г
Un(T) = - $/«(P) dp-
Действительно, тогда
SU,.(\г. — г-1) д\г. — г.\
дг Sil' dr. —lifii'
г і
Поэтому потенциальная энергия взаимодействия всех точек буде<с U(r)=% Undrt-r^, ч. т.д.
г>3
Если и внешние силы потенциальны, т. е. Fi = —dUildrit то система потенциальна, и ее полная потенциальная энергия
U (г) = ^ Uу + J1Ul
і>І г
§ 10. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ п ТОЧЕК
49>
Для такой системы сохраняется полная механическая энергия
г і>і і
Если же система не потенциальна, то полная механическая энергия, вообще говоря, не сохраняется.
Определение. Уменьшение механической энергии^ E (t0) — E (Z1), называется приращением немеханической анергии E':
E' (*,) - E' (t0) = E (t0) - E (I1).
Теорема (закон сохранения энергии). Полная энергия1 H = E + E' сохраняется.
Разумеется, эта теорема — очевидное следствие предыдущего определения. Ее значение состоит в том, что в конкретных физических системах для величины немеханической энергии E' найдены выражения через другие физические величины (температуру и т. п.).
Д. Пример. Задача двух тел. Пусть две точки с массами Tn1, т% взаимодействуют с потенциалом U так, что уравнения движения имеют вид
дії .. dU rr гт -і 1ч
«л = - —, m2r2 = — —, U = U(\ ri-rs\h
Теорема. Изменение г = T1 — T2 в задаче двух тел такое
же, как при движении точки массы т =-;- в поле с потен-
циалом U (I т I).
Обозначим через T0 радиус-вектор центра инерции
_ Tn1V1 + M2T2
0 M1+M2
Согласно теореме о сохранении количества движения точка T0, движется равномерно и прямолинейно.
Рассмотрим теперь вектор т = T1 — г2. Умножая первое из уравнений движения на т2, второе на Hi1 и вычитая, находим
^ , , \ дії тт
In1Tn2V = — (In1 + m2) —^-, где U =
^U(Ir1-T2I) = U(\t I).
В частности, в случае ньютоновского притяжения точки описывают вокруг их общего центра инерции конические сечения с фокусами в центре инерции (рис. 40).
Задача. Определить большую полуось Рис. 40. Задача двух тел Эллипса, который описывает центр Земли вокруг
общего центра инерции Земли и Луны. Где расположен этот центр инерции: внутри Земли или вне? (Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.)
50
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
§ 11. Соображения подобия
В некоторых случаях важную информацию можно получить, не решая уравнений движения, из одного их вида, используя так называемые соображения подобия и размерности. Сущность этих соображений состоит в таком подборе изменения масштабов (времени, длины, массы и т. д.), при котором уравнения движения сохраняют свой вид.
А. Пример. Пусть г (t) удовлетворяет уравнению
d2r __ dU т ~Ж~ — дг~ '
Положим = at, m, = а2т. Тогда г (^1) удовлетворяет уравне-
сРг dU нию тл ¦ j. „ =---—. Иными словами:
Если уменьшить массу точки в четыре раза, то она сможет пройти ту же орбиту е том же силовом поле вдвое быстрее *).
Б. Задача. Пусть потенциальная энергия центрального поля — однородная функция степени v:
U (ar) = avU (г) для любого а ^> 0.
Доказать, что если кривая у есть орбита движения, то гомотетичная кривая ау также есть орбита (при соответствующих начальных условиях). Определить отношение времен обращения по этим орбитам. Вывести отсюда изохронность колебаний маятника (v = 2) и III закон Кеплера (v = —1).
Задача. Считая, что радиус планеты в а раз меньше радиуса Земли, а масса в ? раз меньше, найти, во сколько раз ускорение силы тяжести, а также первая и вторая космические скорости на ней меньше, чем на Земле.
Ответ, у = ?or2, б = ^A?/a.
Например, для Луны а ж 3,7, ? -? 81. Следовательно, ускорение силы тяжести составляет примерно 1/6 земного (f « 6), а космические скорости — примерно 1/5 земных (6 a 4, 7).
Задача**). Животным пустыни приходится преодолевать большие расстояния между источниками воды. Как зависит максимальное время, которое может бежать животное, от размеров животного Ll
Ответ. Прямо пропорционально L.
Решение. Запас воды пропорционален объему тела, т. е. L3, испарение же — площади поверхности, т. е. L2. Поэтому максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорционально L.
Заметим, что максимальное расстояние, которое может пробежать животное, также растет пропорционально L (см. следующую задачу).
Задач а**). Как зависит скорость бега животного по ровному месту и в гору от размеров животного Ll
Ответ. По ровному месту —LP, в гору
Решение. Мощность, развиваемая животным, пропорциональна L2 {к. п. д. мышц примерно постоянен — около 25%, остальные 75% химиче-
*) Здесь предполагается, что U от т не зависит. В поле тяготения потенциальная энергия U пропорциональна то, и поэтому период не зависит от мас-•сы движущейся точки т.
