Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
E1 x*+xy* + Q — 6 J-S 7
Е, х» + У* + Q — 7 + s 8
Здесь Q —""невырожденная квадратичная форма от невыпи-санных переменных (числом s—1 для Ajl, s—2 — в'остальных случаях). jj Si КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ 13І
2°. Простые генотипы вида C2 —> С2.
Обозначение Нормальная форма Ограничения cod V-If)
Kb ху, х" + уь а > b 5= 2 а + Ъ а + Ъ
Ьа+1 X2+ У3, Уа а > 3 2а -J- 1 2 а
І2 а+4 X1 + у3, ху" а > 2 2а -J-4 2а-J-3
I жв Хг + уа, Xy2 а > 4 a -J- 5 a -J- 4
ІЇО Хг, у* — 10 8
3°. Простые генотипы вида C3 С2.
Обозначение Нормальная форма cod = і* + 1
^ - 2s + у2 + ZV-S У* ji + i
T7 х2 + у3 -J- У* 8
Ts 2а + У3 + yz 9
Ta S2 + У3 + Z8, yz 10
U7 X2 -J- yz. ху + Z3 8
и& X2 -J- yz. ху -J- XZ2 9
Ua X2 + yz, ху -J- Z4 10
W8 X2+113, У2 + XZ 9
W3 X2 + yz2. у2 +XZ 10
Za X3 +Z3, у2 + Z* 10
Xі + у Z2, У2 + Z3 И
Эти обозначения введены М. Джусти ([119J—[121]).
Техника вычислений, приводящих к этим результатам (методы поворачивания линейки Ньютона и приведения полуква-зиоднородных особенностей к нормальным формам), изложена в гл. II (там рассматривается і?-зквивалентность, но методы легко приспосабливаются к F-случаю).
Замечание. Те же вычисления показывают, что все прочие генотипы с изолированной особенностью в 0 (для перечисленных s и t) примыкают *) к объединению F-классов, указанных в следующих трех списках. Эти классы называются огораживающими для простых генотипов. В графе cod указываются коразмерности классов (а не орбит) в малом пространстве струй, т означает число модулей.
*) То есть могут быть превращены в отображения указанных F-классов сколь угодно малой деформацией. основкыв понятия
[ГЛ, І
1°. Огораживающие генотипы вида Cs С1.
Обозначение Нормальная форма Ограничения cod ц (grad/) «і
Р» + У3 + Z3 -j- axyz -I- Q а3 + 27 ф 0 6 +S 8 1
х* + у*ах2у2 + Q а2 ф 4 7 + s 9 1
ho X3 + Ув + azV + Q Aa3 + 27 Ф 0 8 + s 10 1
Здесь Q — невырожденная квадратичная форма от s—3 дополнительных переменных для P8 и от s—2 — для X9 и /10, а — параметр (модуль).
2°. Огораживающие генотипы вида C2 —> С2.
Обозначение Нормальная форма Ограничения cod M/) m
I* 1H 1IO X2у*, Xy3ays х2у, X3аху2у3 — 11 10 10 9 1 1
3°. Огораживающие генотипы вида C3-VG2.
Обозначение и V- Нормальная форма Ограничения cod m
Т* ху, х* + Z2 10 1
т* 1 10 ху, X3уеZ2 — 11 1
Vll X2 -|- yz, ху -|- axz3 -|- Z6 4а3 ф 27 И 1
Wll X2-\-yz, IJ2 -f аугг + z* а2 ф 4 11 1
Z*n X2+Z3, у2+ z* — 12 1
Zt3 X2 -|_ yz2 -f- az*, у2 -f Xz2 + bz* Д ф 0 12 2
TJMt и 10 xy + z3, xz-Ir у 2Z-{-ayz2 4а3 + 27 ф 0 10 1
її/** 'у 13 xyz, X2 -{- у2 -|- Z2 -|- аху -|- byz -|- съх 5^0 11 3
Нормальные формы T^, Т*10, Z*n не имеют модулей, но эти особенности примыкают к (X9), {/10}, (W7J1) соответственно и потому не просты; Д = 27 — 288аЬ — 256 (а3 + Ъ3 -f a2b\ 8 = (с2 — 4) X X (Us — 4) (с2 — 4) (а2 + б2 + с2 — labe). Важнейшие примыкания 1°. Генотипы вида Cj-C1-CM. § 15. § 10] ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ 142
2°. Генотипы вида C3-^Ca:
-I22-123- 12 4"
^ 3,3* ^3,4* "
t t^cilurT
17 * 1S к 1 IO^ Uli ) \ *
V1IO/ 1Q 1IO
3°. Генотипы вида C3 Ca:
S7-
VV
W-
t
^ t (W1S T7 t
Г
(р) (Uu) * I
Ua
Ua
W8-Z9
ІПУ
f
-T0
f t W9 - Z10-* (Z1* )
(Wfi)-(Zti)
На этих диаграммах огораживающие классы заключены в круглые скобки. Все огораживающие особенности квазиоднородны (см. гл. II). М. Джусти в [120] приводит гипотетически полный список примыканий простых генотипов, пропуская W8 De и др.
§ 10. Обзор дальнейших результатов
В этом параграфе описан ряд обобщений теорем устойчивости и версальности: мы рассматриваем диаграммы отображений, отображения с компактной группой симметрии и локальную топологическую теорию особенностей.
10.1. Диаграммы отображений. В последнее время появилось много работ, переносящих результаты Мазера [67] об устойчивости особенностей дифференцируемых отображений на случаи действия различных бесконечномерных групп на различного вида функциональных объектах. Значительную часть таких задач можно описать на языке диаграмм отображений (см. [97], [112]).
Пусть D — некоторый конечный набор M1, . . ., Mn гладких многообразий и отображений fjc: Msf7i., Міш этих многообразий. Через г (к) и s (к) мы обозначаем индексы многообразий образа ізі
Ьсновные понятия
tftft. І
И прообраза отображения fk. Набору D (диаграмме отображений) сопоставим граф с вершинами Mj и стрелками, отвечающими fk.
Две диаграммы D1 и D2 с изоморфными графами называются эквивалентными, если существует набор диффеоморфизмов Oj: MW MW, j= 1, . . ,, п, такой, что для каждого f(p
/^ = 6,(*°/!^?.
В пространстве диаграмм с фиксированным графом введем подходящую топологию (открыто-компактную или топологию Уитни).
Определение. Диаграмма D называется устойчивой, если всякая близкая диаграмма D' эквивалентна D.
Замечание. Часто рассматривают подмножество диаграмм с фиксированным графом, отображения /й которых имеют некоторый специальный вид. Диаграмму D назовем устойчивой в классе диаграмм специального вида, если всякая близкая диаграмма этого класса набором диффеоморфизмов в, сохраняющих структуру отображений /д., приводится к диаграмме D.
